天保暦の日食法 (8) 方向角

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前回は、天保暦の日食法の出入帯食、および、地方食の算出について説明した。

今回は、初虧・食甚・復円における方向角、出入帯食時の方向角の算出について。

初虧・食甚・復円の方向角

求初虧白道高弧交角「以初虧真時東西差為一率、初虧真時南北差為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得初虧白道高弧交角（如無初虧真時東西差、則白道与高弧為直角。食甚・復円、亦同）」
初虧真時東西差を以って一率と為し、初虧真時南北差、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ初虧白道高弧交角を得（もし初虧真時東西差無ければ、則ち白道と高弧、直角を為す。食甚・復円、また同じ）。
求食甚白道高弧交角「以食甚真時東西差為一率、食甚真時南北差為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得食甚白道高弧交角」
食甚真時東西差を以って一率と為し、食甚真時南北差、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ食甚白道高弧交角を得。
求復円白道高弧交角「以復円真時東西差為一率、復円真時南北差為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得復円白道高弧交角」
復円真時東西差を以って一率と為し、復円真時南北差、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ復円白道高弧交角を得。
求初虧定交角（即初虧併径高弧交角）「置初虧白道高弧交角、加減初虧真時視距弧両心視相距交角、得初虧定交角（初虧限東者、視緯之正弦、南則加、北則減。限西者、視緯之正弦、南則減、北則加。不足減者、加周天減之。初虧視距弧之正弦、常在緯西。如在緯東、則反加減。如無初虧視距弧両心視相距交角、則初虧白道高弧交角即初虧定交角）」
初虧白道高弧交角を置き、初虧真時視距弧両心視相距交角を加減し、初虧定交角を得（初虧限東は、視緯の正弦、南は則ち加へ、北は則ち減ず。限西は、視緯の正弦、南は則ち減じ、北は則ち加ふ。減に足らざれば、周天を加へこれを減ず。初虧視距弧の正弦、常に緯西に在り。もし緯東に在れば、則ち加減を反す。もし初虧視距弧両心視相距交角無ければ、則ち初虧白道高弧交角即ち初虧定交角）。
求食甚定交角（即食甚併径高弧交角）「置食甚白道高弧交角、加減食甚真時視距弧両心視相距交角、得食甚定交角（食甚真時視距弧之正弦在緯東、則加減与求復円定交角同。在緯西、則加減与求初虧定交角同、而南北随食甚真時視緯之正弦、距限之東西随食甚真時東西差）」
食甚白道高弧交角を置き、食甚真時視距弧両心視相距交角を加減し、食甚定交角を得（食甚真時視距弧の正弦、緯東に在れば、則ち加減、求復円定交角と同じ。緯西に在れば、則ち加減、求初虧定交角と同じくして、南北は食甚真時視緯の正弦に随ひ、距限の東西は食甚真時東西差に随ふ）。
求復円定交角（即復円併径高弧交角）「置復円白道高弧交角、加減復円真時視距弧両心視相距交角、得復円定交角（復円限東者、視緯之正弦、南則減、北則加。限西者、視緯之正弦、南則加、北則減。不足減者、加周天減之。復円視距弧之正弦、常在緯東。如在緯西、則反加減。如無復円視距弧両心視相距交角、則復円白道高弧交角即復円定交角）」
復円白道高弧交角を置き、復円真時視距弧両心視相距交角を加減し、復円定交角を得（復円限東は、視緯の正弦、南は則ち減じ、北は則ち加ふ。限西は、視緯の正弦、南は則ち加へ、北は則ち減ず。減に足らざれば、周天を加へこれを減ず。復円視距弧の正弦、常に緯東に在り。もし緯西に在れば、則ち加減を反す。もし復円視距弧両心視相距交角無ければ、則ち復円白道高弧交角即ち復円定交角）。
求初虧方向度「初虧限東者、以初虧定交角加半周天（満周天去之）、為初虧方向度。限西者、以初虧定交角減周天、為初虧方向度（如初虧視距弧之正弦在緯東、則依求復円方向度法求之。初度起於日体下方、日輪周左旋之数也。食甚・復円亦同）」
初虧限東は、初虧定交角を以って半周天に加へ（満周天これを去く）、初虧方向度と為す。限西は、初虧定交角を以って周天より減じ、初虧方向度と為す（もし初虧視距弧の正弦、緯東に在れば、則ち求復円方向度法に依りこれを求む。初度、日体の下方より起こし、日輪周左旋の数なり。食甚・復円また同じ）。
求食甚方向度「食甚真時視距弧之正弦、在緯東則依求復円方向度法求之、在緯西則依求初虧方向度法求之、得食甚方向度（南北随食甚真時視緯之正弦）」
食甚真時視距弧の正弦、緯東に在れば則ち求復円方向度法に依りこれを求め、緯西に在れば、則ち求初虧方向度法に依りこれを求め、食甚方向度を得（南北、食甚真時視緯の正弦に随ふ）。
求復円方向度「復円限東者、復円定交角即為復円方向度。限西者、以復円定交角減半周天（不足減者、加周天減之）、為復円方向度。（如復円視距弧之正弦在緯西、則依求初虧方向度法求之）」
復円限東は、復円定交角即ち復円方向度と為す。限西は、復円定交角を以って半周天より減じ（減に足らざれば、周天を加へこれを減ず）、復円方向度と為す。（もし復円視距弧の正弦、緯西に在れば、則ち求初虧方向度法に依りこれを求む）。
求初虧食甚復円方位「初虧・食甚・復円、各視其方向度、初度為下方、二十二度半為下偏左、四十五度為左方下方之間、六十七度半為左偏下、九十度為左方、一百十二半為左偏上、一百三十五度為上方左方之間、一百五十七度半為上偏左、一百八十度為上方、二百零二度半為上偏右、二百二十五度為上方右方之間、二百四十七度半為右偏上、二百七十度為右方、二百九十二度半為右偏下、三百一十五度為右方下方之間、三百三十七度半為下偏右、三百六十度為下方（以日輪周為三百六十度、分十六処、則各差二十二度半。用上下左右分方位）」
初虧・食甚・復円、各おの其の方向度を視ること、初度、下方と為し、二十二度半、下偏左と為し、四十五度、左方下方の間と為し、六十七度半、左偏下と為し、九十度、左方と為し、一百十二半、左偏上と為し、一百三十五度、上方左方の間と為し、一百五十七度半、上偏左と為し、一百八十度、上方と為し、二百零二度半、上偏右と為し、二百二十五度、上方右方の間と為し、二百四十七度半、右偏上と為し、二百七十度、右方と為し、二百九十二度半、右偏下と為し、三百一十五度、右方下方の間と為し、三百三十七度半、下偏右と為し、三百六十度、下方と為（日輪周を以って三百六十度と為し、十六処に分け、則ち各おの二十二度半を差す。上下左右を用ゐ方位を分く）。
\[ \begin{align}
\text{初虧白道高弧交角} &= 180° - \tan^{-1} {\text{南北差}(@\text{初虧真時}) \over \text{東西差}(@\text{初虧真時})} \\
\text{食甚白道高弧交角} &= 180° - \tan^{-1} {\text{南北差}(@\text{食甚真時}) \over \text{東西差}(@\text{食甚真時})} \\
\text{復円白道高弧交角} &= 180° - \tan^{-1} {\text{南北差}(@\text{復円真時}) \over \text{東西差}(@\text{復円真時})} \\
\text{初虧定交角} &= \text{初虧白道高弧交角} + \text{視距弧両心視相距交角}(@\text{初虧真時}) \\
\text{食甚定交角} &= \text{食甚白道高弧交角} + \text{視距弧両心視相距交角}(@\text{食甚真時}) \\
\text{復円定交角} &= \text{初虧白道高弧交角} + \text{視距弧両心視相距交角}(@\text{復円真時}) \\
\end{align} \]

方向角	方向	頒暦記載	方向角	方向	頒暦記載
0°	下方	下の方	180°	上方	上の方
22.5°	下偏左	下の左	202.5°	上偏右	上の右
45°	左方下方の間	左と下の間	225°	上方右方の間	上と右の間
67.5°	左偏下	左の下	247.5°	右偏上	右の上
90°	左方	左の方	270°	右方	右の方
112.5°	左偏上	左の上	292.5°	右偏下	右の下
135°	上方左方の間	上と左の間	315°	右方下方の間	右と下の間
157.5°	上偏左	上の左	337.5°	下偏右	下の右

月食法のところでも言及したように、天保暦の方向角は「下方（天底方向）を起点 0° として時計回りに測った角」である。欠けがある方向なので、光る天体から見て隠ぺいする天体がある方向、月食なら、月輪のうちの地球影がある方向だが、日食では、日輪のうちの月がある方向である。

地上の観測者から見て、月が太陽のどっち方向にあるかを計算したいのだが、天保暦の日食法での算出方法に即して考えると、太陽から見て、月が観測者のどっち方向にあるかを計算することによって求めることができる。

各時点の位置計算において、「視距弧両心視相距交角」を求めていた。
\[ \text{視距弧両心視相距交角} = \tan^{-1} {\text{視緯の正弦} \over \text{視距弧の正弦}} \]
である。

上図は、太陽から見た地球輪の図であり、このなかで、観測者を P、月（の射影）を M、地心を O、地心 O の東方（白道前方方向）を E、観測者の東方を E' とする。この図において、Y軸は白道北極方向に、白道は X 軸に平行になるように座標系を取られているのであったから、ここでいう「東方」（白道前方）とは、X 軸正の方向のことである。

「視距弧両心視相距交角」は、観測者にとっての東方 (\(\overrightarrow{\mathrm{PE^\prime}}\)) を起点 0° として、観測者にとっての月の方向 (\(\overrightarrow{\mathrm{PM}}\)) を反時計回りに測った角としてこのブログでは計算した。∠E'PM の角である。

そして、観測者 P にとっての下方は、O の方向 (\(\overrightarrow{\mathrm{PO}}\)) である。地心 O に居る人（というか、太陽から見て地心 O と同方向に見える、地心 O と太陽とを結ぶ直線と、地表面との交点に立っている人）は、太陽を天頂方向に見るが、それ以外の場所に立っている人が太陽の見える方角に向かって立ったとしたら、それは、O を向いて、O を取り囲むような感じに立つことになる。観測者が、太陽に向かって立って日輪を見たときに、日輪のうちの下方とは、自分が立っている正面の方向の地平線に近い側のことである。よって、 観測者 P にとっての下方は O の方向ということになるのである。 

• 細かい話をするなら、地球は回転楕円体であり、観測者が下だと思う方向（観測者にとっての地平面と垂直で、観測者が感じる「重力」（実際は地球の重力と遠心力との合成）の方向）は、地心方向とは少々ずれているはずである。が、方向角の計算をするとき、その影響は微小だと思われるので、無視しよう。
  

\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) の方向を、東方を起点に反時計回りに測る（∠EOP) と、\(\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \left( \begin{array} \\ \text{東西差} \\ \text{南北差} \end{array} \right) \) であったから、
\[ \tan^{-1} {\text{南北差} \over \text{東西差}}\]
となるはずである。\(\overrightarrow{\mathrm{OP}}\) は、観測者 P にとって、O の反対方向、つまり上方（天頂方向）であるから、これは、「東方（白道前方）を起点 0° として、上方を反時計回りに測った角」である。

「白道高弧交角」∠OPE' は、「下方を起点 0° として、東方（白道前方）を反時計回りに測った角」として計算したい。とすると、符号を反転して、「東方を起点に上方を」を「上方を起点に東方を」とし、向きを 180° 変えて、「上方を起点に」ではなく「下方を起点に」となるようにする。つまり、
\[ \text{白道高弧交角} = 180° - \tan^{-1} {\text{南北差} \over \text{東西差}}\]
とする。「180°」という条文上にない角度を導入するのが気持ち悪ければ、
\[ \text{白道高弧交角} = - \tan^{-1} {- \text{南北差} \over - \text{東西差}}\]
でもよい。

「白道高弧交角」（下方を起点 0° として、東方（白道前方）を反時計回りに測った角）に、「視距弧両心視相距交角」（東方（白道前方）を起点 0° として、月の方向を反時計回りに測った角）を加算してやれば、「下方を起点 0° として、月の方向を反時計回りに測った角」を求めることが出来る。

これは、「太陽から見て、月は観測者のどっち側にあるか」の方角、つまり、天から地を見おろしたときの方角なのだが、これを裏返しにすると、「観測者から見て、月は太陽のどっち側にあるか」の方角、つまり、地から天を見上げたときの方角となる。裏返しにするので、 「下方を起点 0° として、東方（白道前方）を反時計回りに測った角」は、「下方を起点 0° として、東方（白道前方）を時計回りに測った角」となる。これが、まさに求めたかった角である。

 なお、以上の計算において、初虧・食甚・復円における東西差・南北差・ 視距弧両心視相距交角が必要となるが、初虧・食甚・復円の定真時の位置計算は行っていないので、これらの値を算出していない。真時の位置計算にて得られた値を用いる。

当ブログの定義に沿って計算すれば、上記のように、「白道高弧交角」と「視距弧両心視相距交角」を単に加算すればよいのであるが、正負の概念を使わずに計算している新法暦書においては、いろいろと場合わけして記述している。正負の概念を使わずに計算すると、arc tangent は、常に正の鋭角 (0°～90°) の値域となってしまう。

「限東」とは、観測者にとって地心が東（右側）（つまり、観測者は地心より西）にあること、「限西」とは、観測者にとって地心が西（左側）（つまり、観測者は地心より東）にあること。そして、日本にいる観測者が、地心より南になることはなく、常に北にある。

\[ \tan^{-1} {\text{南北差} \over \text{東西差}} \]
を算出すると、限東では第 2 象限、限西では第 1 象限となり、「白道高弧交角」
\[ 180° - \tan^{-1} {\text{南北差} \over \text{東西差}} \]
とすると、限東では第 1 象限、限西では第 2 象限となる。これが、当ブログの定義の 「白道高弧交角」だが、新法暦書式に計算すると、

• 限東
• 「西方（白道後方）を起点に、時計回りに測った上方」、または、
  「東方（白道前方）を起点に、時計回りに測った下方」。つまりは、
  「下方を起点に、反時計回りに測った東方（白道前方）」の角
• 当ブログの値では、第 1 象限の角。
  
• 限西
• 「東方（白道前方）を起点に、反時計回りに測った上方」、または、
  「西方（白道後方）を起点に、反時計回りに測った下方」。つまり、
  「下方を起点に、時計回りに測った西方（白道後方）」の角
• 当ブログの値では、第 2 象限で、新法暦書の値はその外角（\(180° - \theta\))。
  

となる。

一方、視距弧両心視相距交角は、「緯東」（月は観測者の東）か、「緯西」（月は観測者の西）か、視距弧が北（月は観測者の北）か、視距弧が南（月は観測者の南）か、によって、当ブログの値での象限が決まるが、新法暦書の値では、

• 「緯東」なら、東方（白道前方）を起点の角
• 「緯西」なら、西方（白道後方）を起点の角

となり、

• 第 1 象限（緯東・北）、第 3 象限（緯西・南）では、反時計回りの角
• 第 2 象限（緯西・北）、第 4 象限（緯東・南）では、時計回りの角

の角となる。

「白道高弧交角」と「視距弧両心視相距交角」を合算するにあたり、時計回りの角同士、反時計回りの角同士は加算し、時計回りと反時計回りの組み合わせでは減算してやるとよい。

月は観測者に西から近づき東へ抜けてゆくので、一般に、初虧の月は緯西、復円の月は緯東である。「求初虧定交角」で「初虧限東は、視緯の正弦、南は則ち加へ、北は則ち減ず。限西は、視緯の正弦、南は則ち減じ、北は則ち加ふ」としているのは、初虧の月が緯西であることを前提としている。しかし、例外的に初虧の月が緯東となることもなくはないので「もし緯東に在れば、則ち加減を反す」としている。

復円の記述も、加減は逆だが、似たような感じ。食甚では、「緯東に在れば則ち求復円方向度法に依りこれを求め、緯西に在れば、則ち求初虧方向度法に依りこれを求め」のように記載されている。

基本的に、白道高弧交角に対し、視距弧両心視相距交角を加減して定交角を求めているので、時計回りか反時計回りかは、白道高弧交角による。これは、

• 限東
  下方を起点に、反時計回りに測った東方（白道前方）の角
  
• 限西
  下方を起点に、時計回りに測った西方（白道後方）の角

であった。

そして、視距弧両心視相距交角は、

• 「緯東」なら、東方（白道前方）を起点の角
• 「緯西」なら、西方（白道後方）を起点の角

 であった。「緯東・限東」、「緯西・限西」であれば、白道前方なのか白道後方なのか合っているからよいが、「緯西・限東」、「緯東・限西」のときは、合っていないから 180° 裏側の値となってしまう。よって、「下方を起点に、反時計回りに測った角」に統一しようとすると、

• 緯西・限東
• 反時計回りで、向きはあっている。
• 180° 裏側の値となっている。
• → \(180° + \theta\) とすればよい。
  「初虧限東は、初虧定交角を以って半周天に加へ（満周天これを去く）、初虧方向度と為す」
  
• 緯西・限西
• 時計回りで、向きが逆。
• 180° 裏側の値にはなっていない。
• → \(- \theta\) つまり \(360° - \theta\) とすればよい。
  「限西は、初虧定交角を以って周天より減じ、初虧方向度と為す」
• 緯東・限東
• 反時計回りで、向きはあっている。
• 180° 裏側の値にはなっていない。
• → そのまま \(\theta\) でよい。
  「復円限東は、復円定交角即ち復円方向度と為す」
• 緯東・限西
• 時計回りで、向きが逆。
• 180° 裏側の値となっている。
• → \(180° - \theta\) とすればよい。
  「限西は、復円定交角を以って半周天より減じ（減に足らざれば、周天を加へこれを減ず）、復円方向度と為す」

 例によって、初虧は緯西、復円は緯東である前提で一旦記述したうえで、初虧・食甚の緯東は復円の計算方法に従い、食甚・復円の緯西は初虧の計算方法に従うこととしているので、要するに、初虧だろうが食甚だろうが復円だろうが、上記のように計算しているということである。

出入帯食の方向角

求帯食白道高弧交角「以帯食東西差為一率、帯食南北差為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得帯食白道高弧交角」
帯食東西差を以って一率と為し、帯食南北差、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ帯食白道高弧交角を得。
求帯食定交角（即帯食両心視相距高弧交角）「置帯食白道高弧交角、加減帯食視距弧両心視相距交角（帯食視距弧之正弦、在緯東、則加減与求復円定交角同、在緯西、則加減与求初虧定交角同、而南北随帯食視緯之正弦、距限之東西随帯食東西差）、得帯食定交角」
帯食白道高弧交角を置き、帯食視距弧両心視相距交角を加減し（帯食視距弧の正弦、緯東に在れば、則ち加減、求復円定交角と同じく、緯西に在れば、則ち加減、求初虧定交角と同じくして、南北は帯食視緯の正弦に随ひ、距限の東西は帯食東西差に随ふ）、帯食定交角を得。
求帯食方向度「食甚前、与求初虧方向度同、食甚後、与求復円方向度同」
食甚前は、求初虧方向度と同じく、食甚後は、求復円方向度と同じ。
求帯食方位「法与求初虧食甚復円方位同」
法、求初虧食甚復円方位と同じ。
\[ \begin{align}
\text{帯食白道高弧交角} &= 180° - \tan^{-1} {\text{南北差}(@\text{帯食}) \over \text{東西差}(@\text{帯食})} \\
\text{帯食定交角} &= \text{帯食白道高弧交角} + \text{視距弧両心視相距交角}(@\text{帯食})
\end{align} \] 

初虧・食甚・復円のときと同じ方法で算出することが出来る。

 

以上で、天保暦の日食法についての説明おわり。

次回は、天保暦期の頒暦に記載された日月食記事と、当ブログにて説明した天保暦の月食法・日食法により算出した結果との突合を行う。

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[参考文献]

渋川 景祐; 足立 信頭「新法暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵

渋川 景祐; 足立 信行「新法暦書続編」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵