天保暦の月食法 (3) 方向角、地方食

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前回に引き続き、天保暦の月食法。

方向角、つまり、初虧時において最初にかけ始める箇所、食甚時においてかけている箇所、復円時において最後にかけ残っている箇所の方向を計算する。これはつまり、各時において月中心から見て地球影中心のある方向であり、この方向を上方（天頂方向）を基準に上下左右で表現したものである。

現在、暦要項などの日月食記事において記載されている方向角は、上方（天頂方向）を 0° とし、反時計回りに測った角（左方=90°, 下方=180°, 右方=270°）である。寛政暦（暦法新書（寛政））においては、初虧限東では下方を起点に時計回りの角、初虧限西では上方を起点に反時計回りの角、復円限東では上方を起点に時計回りの角、復円限西では下方を起点に反時計回りの角、として算出されていたが、当ブログの式では、暦要項の基準にあわせ、上方を起点に反時計回りの角に統一して計算しておいた。

天保暦（新法暦書）の式では、「下方を起点に時計回りの角」（左方=90°, 上方=180°, 右方=270°）に統一されている。寛政暦での説明の仕方とは異なってくるが、この基準にあわせて以下説明していくことにしよう。

食甚時の黄経・黄緯、赤経・赤緯

求距時太陰黄道実行「以一小時分為一率、一小時太陰実行為二率、食甚距時為三率、求得四率為距時太陰黄道実行。食甚距時加者亦為加、減者亦為減（如無食甚距時、則無太陰黄道緯度、及距時太陰黄道実行、乃以実望太陰白道経度為食甚太陰黄道経度）」
一小時分を以って一率と為し、一小時太陰実行、二率と為し、食甚距時、三率と為し、求めて得る四率、距時太陰黄道実行と為す。食甚距時、加はまた加と為し、減はまた減と為す（もし食甚距時無ければ、則ち太陰黄道緯度、及び距時太陰黄道実行無く、乃ち実望太陰白道経度を以って食甚太陰黄道経度と為す）
求食甚太陰黄道経度「置実望太陰黄道実行、加減距時太陰黄道実行、得食甚太陰黄道経度」
実望太陰黄道実行を置き、距時太陰黄道実行を加減し、食甚太陰黄道経度を得。
求食甚太陰黄道緯度「以半径為一率、斜距黄道交角之余弦為二率、食甚実緯為三率、求得四率為食甚太陰黄道緯度。南北、与食甚実緯同」
半径を以って一率と為し、斜距黄道交角の余弦、二率と為し、食甚実緯、三率と為し、求めて得る四率、食甚太陰黄道緯度と為す。南北、食甚実緯と同じ。
求食甚太陰赤道経緯度「用食甚太陰黄道経緯度、依月離推赤道経緯度法求之、為食甚太陰赤道経緯度」
食甚太陰黄道経緯度を用ゐ、月離の推赤道経緯度法に依りこれを求め、食甚太陰赤道経緯度と為す。
\[ \begin{align}
\text{距時太陰黄道実行} &= \text{一小時太陰実行} \times {\text{食甚距時} \over 1/24_\text{日}} \\
\text{食甚太陰黄道経度} &= \text{太陰黄道実行}(@\text{実望実日時}) + \text{距時太陰黄道実行} \\
\text{食甚太陰黄道緯度} &= \text{食甚実緯} \times \cos(\text{斜距黄道交角}) \\
\text{食甚太陰赤道経度} &= 90° - \tan^{-1} {\cos(\text{黄赤大距}) \cos(\text{食甚太陰黄道経度}) + \sin(\text{黄赤大距}) \tan(\text{食甚太陰黄道緯度}) \over \sin(\text{食甚太陰黄道経度})} \\
\text{食甚太陰赤道緯度} &= \sin^{-1} (\cos(\text{黄赤大距}) \sin(\text{食甚太陰黄道緯度}) - \sin(\text{黄赤大距}) \cos(\text{食甚太陰黄道経度}) \cos(\text{食甚太陰黄道緯度}))\end{align} \]

まずは、食甚時点の月の黄経・黄緯・赤経・赤緯を求める。

実望実時時点の月の黄経をもとに、時間あたりの月黄経角速度（一小時太陰実行）と食甚距時（実望実時と食甚時刻の時間差）で調整して、食甚時点の月の黄経を求める。

同様に、月の黄緯についても、実望実時時点の黄緯と、一小時緯行・食甚距時から求めてもよさそうな気もするが、食甚実緯と斜距黄道交角から算出している。

上の図で、地球影、食甚月、食甚月から黄道に降ろした垂線の足、の三点を結ぶ三角形を考え、この三角形は、地球影、交点、食甚月、の三点を結ぶ三角形と相似であることを考えれば、式の意味は理解できるだろう。

……とはいえ、人間が計算するならこっちの方がラクなのかも知れないが、こちとらコンピュータに計算させるわけなので、何にも考えずに食甚時の月の黄経・黄緯を天保暦月離で計算してしまってもいいのかも知れない。その場合、「食甚時刻」は真太陽時なので、月離のインプットとする日時としては不適である。「実望実時」は時差総を加減する前の平均太陽時であるから、これに食甚距時を加減すれば、平均太陽時の食甚時刻を得られるので、平均太陽時の食甚日時により月離を計算すればよいだろう。

黄経・黄緯を求めたところで、黄赤座標変換を行い、赤経・赤緯を得る。

初虧復円緯差角

推月食方位及食限総時第八
求初虧復円緯差角（即初虧復円併径白道交角）「以併径為一率、食甚実緯為二率、半径為三率、求得四率為正弦、検表得初虧復円緯差角（如無食甚実緯、則無初虧復円緯差角）」
併径を以って一率と為し、食甚実緯、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正弦と為し、表を検じ初虧復円緯差角を得（もし食甚実緯無ければ、則ち初虧復円緯差角無し）。
\[ \begin{align}
\text{初虧復円緯差角} &= \sin^{-1} {\text{食甚実緯} \over \text{併径}} \\
\end{align} \]

まず、初虧復円緯差角を求める。これは、初虧時における方向角が東方（白道前方）からどれだけずれているか、復円時における方向角が西方（白道後方）からどれだけずれているか、という角である。

黄道上にある地球影から見て月は、初虧時に西方（白道後方）から地球影に近づき、復円時に東方（白道前方）に抜けてゆく。そして当然、昇交点後・降交点前の食で、月の黄緯が北緯（食甚実緯が北緯（当ブログの式では正））のとき、月は地球影の北を通ってゆき、月の黄緯が南緯（食甚実緯が南緯（当ブログの式では負））のとき、月は地球影の南を通ってゆく。

しかし、月食の方向角は、地球影から見て月のある方向ではなく、月から見て地球影のある方向であり、180° 真裏の方向である。月食時、月から見て地球影は、初虧時に月の東方（白道前方）、復円時に西方（白道後方）にある。また、食甚実緯が正のとき、地球影は月の南方、負のとき、月の北方にあることになる。

初虧復円緯差角は、
\[\text{初虧復円緯差角} = \sin^{-1} {\text{食甚実緯} \over \text{併径}}\]
として算出できるが、この角は、食甚実緯が正のとき正、負のとき負の角として算出される。食甚実緯が正（地球影が月の南）のとき、初虧の方向角は東方よりやや南に、復円の方向角は西方よりやや南にずれ、食甚実緯が負（地球影が月の北）のとき、初虧の方向角は東方よりやや北に、復円の方向角は西方よりやや北にずれることになる。

よって、 食甚実緯が正のとき正、負のとき負として算出される「初虧復円緯差角」は、「初虧の方向角が白道前方（東方）から反時計回りに（南方に）どれだけずれているか、復円の方向角が白道後方（西方）から時計回りに（南方に）どれだけずれているか、という角度として計算されていることになる。

白道赤経交角

求黄道赤経交角（即黄道北極圏角）「以半径為一率、黄赤大距之正切線為二率、食甚太陰黄道経度之正弦為三率、求得四率為余切線、検表得黄道赤経交角」
半径を以って一率と為し、黄赤大距の正切線、二率と為し、食甚太陰黄道経度の正弦、三率と為し、求めて得る四率、余切線と為し、表を検じ黄道赤経交角を得。
求白道赤経交角「置黄道赤経交角、加減黄白二経交角（太陰黄道経度、初宮至五宮者、月距正交初宮・十一宮則減、五宮・六宮則加。太陰黄道経度六宮至十一宮者、月距正交初宮・十一宮則加、五宮・六宮則減）、得白道赤経交角（過九十度者、亦直用）」
黄道赤経交角を置き、黄白二経交角を加減し（太陰黄道経度、初宮より五宮に至るは、月距正交初宮・十一宮は則ち減じ、五宮・六宮は則ち加ふ。太陰黄道経度、六宮より十一宮に至るは、月距正交初宮・十一宮は則ち加へ、五宮・六宮は則ち減ず）、白道赤経交角を得（九十度を過ぐれば、またただ用う）
\[ \begin{align}
\text{黄道赤経交角} &= \tan^{-1} {1 \over - \tan(\text{黄赤大距}) \sin(\text{食甚太陰黄道経度})} \\
\text{白道赤経交角} &= \text{黄道赤経交角} + \text{斜距黄道交角}
\end{align} \]

次に、黄道赤経交角、白道赤経交角を求める。

「黄道赤経交角」は赤経線（赤道北極から赤道南極へと延びる南北の赤経線のうち、月をとおる赤経線）と黄道とがなす角である。寛政暦（に関する当ブログの式）においては、
\[ \begin{align}
\text{黄道赤経交角} &= \tan^{-1} {\cot(\text{黄赤大距}) \over \cos(\text{影距春分黄道経度})} \\
&= \tan^{-1} {1 \over \tan(\text{黄赤大距}) \cos(\text{影距春分黄道経度})}
\end{align} \]
として計算していた。影距春分黄道経度、つまり地球影の春分起点の黄経により算出しているのだが、天保暦の式との比較のため、冬至起点の黄経（「影黄道経度」と呼ぶことにする）による式に変換すると、
\[ \begin{align}
\text{黄道赤経交角} &= \tan^{-1} {1 \over \tan(\text{黄赤大距}) \cos(\text{影距春分黄道経度})} \\
&= \tan^{-1} {1 \over \tan(\text{黄赤大距}) \cos(\text{影黄道経度} - 90°)}\\
&= \tan^{-1} {1 \over \tan(\text{黄赤大距}) \sin(\text{影黄道経度})}
\end{align} \]
となる。この式は、赤道北極方向を起点 0° として黄道前方（東方）を反時計回りに測った角（または、赤道南極方向を起点 0° として黄道後方（西方）を反時計回りに測った角）であった。

寛政暦の式では、「上方（天頂方向）を起点 0° として反時計回りに測った角」として方向角を算出したが、今回は「下方（天底方向）を起点 0° として時計回りに測った角」として方向角を算出したい。これにあわせ、黄道赤経交角も「赤道北極方向を起点 0° として黄道前方を反時計回りに測った角」ではなく、「赤道南極方向を起点 0° として黄道前方を時計回りに測った角」として算出することにしたい。とするためには、
\[ \text{黄道赤経交角} = \tan^{-1} {1 \over - \tan(\text{黄赤大距}) \sin(\text{影黄道経度})} \]
と分母（ATAN2(X, Y) の X) の符号を反転させてやればよい。これが、上記の天保暦の式
\[ \text{黄道赤経交角} = \tan^{-1} {1 \over - \tan(\text{黄赤大距}) \sin(\text{食甚太陰黄道経度})} \]
である。

さらには、地球影の黄経ではなく、月の黄経をもとに計算している。月食時、地球影の黄経と月の黄経は極めて近い値であるはずで、どちらを用いても結論に大差は生じない。最終的に方向角は「月から見て地球影がある方向」なので、地球影の位置をベースに考えるのではなく、月の位置をベースに考える天保暦のほうが、一見、理に適っているようだが、実はそうでもない。

寛政暦の算出式は「地球影を通る赤経線が黄道となす角」を算出するための式である。天保暦の算出式は「地球影」を「月」にすげ変えているのだから「月を通る赤経線が黄道となす角」を算出する式となっているのかというとそうはなっていない。寛政暦の式は、地球影が黄道上にあることを前提としている式なのだが、月は必ずしも黄道上にあるわけではない。天保暦の式は、実際には「月と黄経が等しく黄緯がゼロである点（すなわち、月から黄道に降ろした垂線の足）を通る赤経線が黄道となす角」を算出している。これは「月を通る赤経線が黄道となす角」と大差はないものの等しくはない。

「方向角を、月の位置をベースに考えようとしているが、そうはなり切れていない」天保暦の式より、「方向角を、地球影の位置をベースに考えようとしている」寛政暦の式の方が、首尾一貫しているように思われる。

閑話休題。

「黄道赤経交角」は、「赤道南極方向を起点 0° として黄道前方を時計回りに測った角」（または、真裏を考えれば「赤道北極方向を起点 0° として黄道後方を時計回りに測った角」）であった。

これに、「斜距黄道交角」を加減して、「白道赤経交角」つまり、「赤道南極方向を起点 0° として白道前方を時計回りに測った角」（または、「赤道北極方向を起点 0° として白道後方を時計回りに測った角」）を算出する。

「斜距黄道交角」は、黄道と白道とがなす角である。昇交点付近では黄道前方よりやや北より（時計回り）に白道前方が位置しており、当ブログの式ではこれがプラス。降交点付近では黄道前方よりやや南より（反時計回り）に白道前方が位置しており、当ブログの式ではこれがマイナス。よって、「黄道赤経交角」も「斜距黄道交角」も時計回りの角だから、加算してやれば「白道赤経交角」を算出することが出来る。 

以上が当ブログの式における算出だが、新法暦書を文字通りに考えたときの計算を確認しておく。

太陰黄道経度、初宮より五宮に至るは、月距正交初宮・十一宮は則ち減じ、五宮・六宮は則ち加ふ。太陰黄道経度、六宮より十一宮に至るは、月距正交初宮・十一宮は則ち加へ、五宮・六宮は則ち減ず）、白道赤経交角を得（九十度を過ぐれば、またただ用う）

「黄道赤経交角」は、当ブログの式を用いれば「赤道南方を起点に黄道前方の方向を時計回りに測った角」となり、月黄経が第1, 2象限のときは鈍角、第3, 4象限のときは鋭角として算出される。が、正負の概念を用いずに算出する新法暦書の計算では、月黄経が第1, 2象限のときはその外角として算出されるので、「赤道北方を起点に黄道前方の方向を反時計回りに測った角」、第3, 4象限のときはそのまま「赤道南方を起点に黄道前方の方向を時計回りに測った角」となる。

一方、「斜距黄道交角」は、当ブログの式では「黄道前方を起点に白道前方の方向を時計回りに測った角」であり、昇交点付近（月距正交初宮・十一宮）ではプラス、降交点付近（月距正交五宮・六宮）ではマイナスの角である。が、正負の概念を用いずに算出する新法暦書の計算では、昇交点付近ではそのまま「黄道前方を起点に白道前方の方向を時計回りに測った角」、降交点付近では「黄道前方を起点に白道前方の方向を反時計回りに測った角」となる。

上記から、ともに時計回り・ともに反時計回りなら加算し、一方は時計回り・一方は反時計回りなら減算し、結果、新法暦書の式では、

• 月黄経が第1, 2象限なら「赤道北方を起点に白道前方の方向を反時計回りに測った角」（または「赤道南方を起点に白道後方の方向を反時計回りに測った角」）
• 月黄経が第3, 4象限なら「赤道南方を起点に白道前方の方向を時計回りに測った角」（または「赤道北方を起点に白道後方の方向を時計回りに測った角」）

として、白道赤経交角が算出できていることとなる。

初虧・復円時の月赤経

求初虧復円赤道距弧「以半径為一率、白道赤経交角之正弦為二率、初虧復円距弧為三率、求得四率為初虧復円赤道距弧」
半径を以って一率と為し、白道赤経交角の正弦、二率と為し、初虧復円距弧、三率と為し、求めて得る四率、初虧復円赤道距弧と為す。
求初虧太陰赤道経度「置食甚太陰赤道経度、減初虧復円赤道距弧、得初虧太陰赤道経度」
食甚太陰赤道経度を置き、初虧復円赤道距弧を減じ、初虧太陰赤道経度を得。
求復円太陰赤道経度「置食甚太陰赤道経度、加初虧復円赤道距弧、得復円太陰赤道経度」
食甚太陰赤道経度を置き、初虧復円赤道距弧を加へ、復円太陰赤道経度を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧復円赤道距弧} &= \text{初虧復円距弧} \sin(\text{白道赤経交角}) \\
\text{初虧太陰赤道経度} &= \text{食甚太陰赤道経度} - \text{初虧復円赤道距弧} \\
\text{復円太陰赤道経度} &= \text{食甚太陰赤道経度} + \text{初虧復円赤道距弧}
\end{align} \]

 「初虧復円距弧」は、食甚時の月と、初虧/復円時の月との間の角距離であり、月は白道に沿って動くわけだから、白道に沿って測った距離である。「白道赤経交角」によって白道と赤経との傾きがわかるから、それを加味してやれば、赤道に沿って測った距離、つまり、赤経の差違がわかるはず。よって、食甚時の月の赤経にこれを加減して、初虧・復円時の月の赤経を計算できる。

……が、この計算はちょっと微妙。冬至・夏至付近であって月の赤緯が大きいとき、緯度が高いと経線間の間隔が詰まり、同じ角距離でも経度の変化量への寄与が大きくなる効果を無視しているのでは？

赤経高弧交角

求初虧太陰距午赤道度「以初虧時分変赤道度、加減半周天（変赤道度、不及半周天則加、過半周天則減）、加太陽赤道経度（満十二宮去之）、為初虧正午赤道経度。以与初虧太陰赤道経度相減、得初虧太陰距午赤道度。初虧正午赤道経度大於初虧太陰赤道経度、則為午西、小於初虧太陰赤道経度、則為午東（如太陰距午赤道度過半周天、則以減周天、用其余、而反其東西）」
初虧時分を以って赤道度に変じ、半周天を加減し（赤道度に変じ、半周天に及ばずは則ち加へ、半周天を過ぐれば則ち減ず）、太陽赤道経度を加へ（満十二宮これを去く）、初虧正午赤道経度と為す。以って初虧太陰赤道経度と相減じ、初虧太陰距午赤道度を得。初虧正午赤道経度、初虧太陰赤道経度より大なれば、則ち午西と為し、初虧太陰赤道経度より小なれば、則ち午東と為す（もし太陰距午赤道度、半周天を過ぐれば、則ち以って周天より減じ、其の余りを用ゐて、其の東西を反ず）。
求復円太陰距午赤道度「以復円時分変赤道度、加減半周天（変赤道度、不及半周天則加、過半周天則減）、加太陽赤道経度（満十二宮去之）、為復円正午赤道経度。以与復円太陰赤道経度相減、得復円太陰距午赤道度。復円正午赤道経度大於復円太陰赤道経度、則為午西、小於復円太陰赤道経度、則為午東（如太陰距午赤道度過半周天、則以減周天、用其余、而反其東西）」
復円時分を以って赤道度に変じ、半周天を加減し（赤道度に変じ、半周天に及ばずは則ち加へ、半周天を過ぐれば則ち減ず）、太陽赤道経度を加へ（満十二宮これを去く）、復円正午赤道経度と為す。以って復円太陰赤道経度と相減じ、復円太陰距午赤道度を得。復円正午赤道経度、復円太陰赤道経度より大なれば、則ち午西と為し、復円太陰赤道経度より小なれば、則ち午東と為す（もし太陰距午赤道度、半周天を過ぐれば、則ち以って周天より減じ、其の余りを用ゐて、其の東西を反す）。
求初虧赤経高弧交角「以半径為一率、初虧太陰距午赤道度之余弦為二率、食甚太陰赤道緯度之正弦為三率、求得四率為初虧法数加減差（太陰赤道緯度、南則為加、北則為減。如太陰距午赤道度過九十度、則為加。如無太陰赤道緯度、或太陰距午赤道度為九十度、則無法数加減差、乃以汎法為初虧定法）。以加減汎法、得初虧定法。乃以初虧定法為一率、初虧太陰距午赤道度之正弦為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得初虧赤経高弧交角」
半径を以って一率と為し、初虧太陰距午赤道度の余弦、二率と為し、食甚太陰赤道緯度の正弦、三率と為し、求めて得る四率、初虧法数加減差と為す（太陰赤道緯度、南は則ち加と為し、北は則ち減と為す。もし太陰距午赤道度、九十度を過ぐれば、則ち加と為す。もし太陰赤道緯度無く、或いは太陰距午赤道度九十度と為せば、則ち法数加減差無く、すなはち汎法を以って初虧定法と為す）。以って汎法に加減し、初虧定法を得。すなはち初虧定法を以って一率と為し、初虧太陰距午赤道度の正弦、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ初虧赤経高弧交角を得。
求復円赤経高弧交角「以半径為一率、復円太陰距午赤道度之余弦為二率、食甚太陰赤道緯度之正弦為三率、求得四率為復円法数加減差（太陰赤道緯度、南則為加、北則為減。如太陰距午赤道度過九十度、則為加。如無太陰赤道緯度、或太陰距午赤道度為九十度、則無法数加減差、乃以汎法為復円定法）。以加減汎法、得復円定法。乃以復円定法為一率、復円太陰距午赤道度之正弦為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得復円赤経高弧交角」
半径を以って一率と為し、復円太陰距午赤道度の余弦、二率と為し、食甚太陰赤道緯度の正弦、三率と為し、求めて得る四率、復円法数加減差と為す（太陰赤道緯度、南は則ち加と為し、北は則ち減と為す。もし太陰距午赤道度、九十度を過ぐれば、則ち加と為す。もし太陰赤道緯度無く、或いは太陰距午赤道度九十度と為せば、則ち法数加減差無く、すなはち汎法を以って復円定法と為す）。以って汎法に加減し、復円定法を得。すなはち復円定法を以って一率と為し、復円太陰距午赤道度の正弦、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ復円赤経高弧交角を得。
\[ \begin{align}
\text{太陰距午赤道度}(@\text{初虧}) &= {360° \over 1_\text{日}} \text{初虧時刻} + 180° + \text{太陽赤道経度}(@\text{実望実日時}) - \text{初虧太陰赤道経度} \\
\text{太陰距午赤道度}(@\text{復円}) &= {360° \over 1_\text{日}} \text{復円時刻} + 180° + \text{太陽赤道経度}(@\text{実望実日時}) - \text{復円太陰赤道経度} \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧}) &= \tan^{-1} {\sin(\text{太陰距午赤道度}(@\text{初虧})) \over \text{汎法} - \cos(\text{太陰距午赤道度}(@\text{初虧})) \sin(\text{食甚太陰赤道緯度})} \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{復円}) &= \tan^{-1} {\sin(\text{太陰距午赤道度}(@\text{復円})) \over \text{汎法} - \cos(\text{太陰距午赤道度}(@\text{復円})) \sin(\text{食甚太陰赤道緯度})}
\end{align} \]

「太陰距午赤道度」は、月の赤経の、南中赤経線からの離角である。

恒星時（南中している天体の赤経）を \(\Theta\) とし、太陽の赤経を \(\alpha_s\) とすると、真太陽時 \(\tau\) は、\(\tau = \Theta - \alpha_s\) と表現することが出来る。これは、正午 12:00 を 0 とする時刻（を角度に変換したもの）であるが、夜半 0:00 を 0 とする時刻を \(\tau\) とするなら、\(\tau = \Theta \pm 180° - \alpha_s\) となるだろう。よって、\(\Theta = \tau \pm 180° + \alpha_s\) である。この恒星時 \(\Theta\) が「初虧時分を以って赤道度に変じ、半周天を加減し、太陽赤道経度を加へ、初虧正午赤道経度と為す」と言っているところの「正午赤道経度」である。これと月の赤経 \(\alpha_m\) との離角が「太陰距午赤道度」なので、
\[ \text{太陰距午赤道度} = \tau \pm 180° + \alpha_s - \alpha_m\]
となる。この太陰距午赤道度は、月南中時にゼロ、南中前は負（「午東」）、南中後は正（「午西」）である。

食甚のときの赤経高弧交角はすでに月の視半径を求めるために算出しているが、
\[ \begin{align}
\text{汎法} &= \tan(\text{北極高度}) \cos(\text{太陽赤道緯度}(@\text{実望実日時})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{食甚}) &= \tan^{-1} {\sin(\text{影距午赤道度}(@\text{食甚})) \over \text{汎法} + \cos(\text{食甚影距午赤道度}) \sin(\text{太陽赤道緯度}(@\text{実望実日時}))}
\end{align} \]
であった。これと、今回の初虧・復円時の式は基本的に同じだが、食甚時は地球影の位置をベースに計算したが、ここでは月の位置をベースに計算している。「本来は月の位置をベースに計算すべきもののはず。食甚時は月と地球影の位置が近いから地球影の位置で代用してもよいだろう。初虧・復円時はそうでもないからちゃんと月の位置で計算しよう」ということだろうか。とはいえ、上のほうでも述べたように、天保暦（新法暦書）の月食法の方向角計算は、「月の位置ベースで計算しよう」とがんばってはいるものの、今いちなところが多いように思われる。

なお、食甚の赤経高弧交角の計算では「汎法」に \(\cos(\text{食甚影距午赤道度}) \sin(\text{太陽赤道緯度})\) を加算しているが、初虧・復円の赤経高弧交角の計算では「汎法」から \(\cos(\text{太陰距午赤道度}) \sin(\text{食甚太陰赤道緯度})\) を減算していて、一見、式が違うようだが、\(\text{地球影の赤緯} = - \text{太陽の赤緯}\) なので、実際は、食甚の計算でも「汎法」から、\(\cos(\text{食甚影距午赤道度}) \sin(\text{地球影赤道緯度})\) を減算しているのである。

当ブログの式においては、午東（月の南中前。太陰距午赤道度が負）のとき、赤経高弧交角は負（天頂方向を基準として、赤道北極方向は、左/東/反時計回りにずれている）、午西（月の南中後。太陰距午赤道度が正）のとき、赤経高弧交角は正（天頂方向を基準として、赤道北極方向は、右/西/時計回りにずれている）として求まるはずである。

なお、熱帯地方であって、月の南中時に月が天頂よりも北側にあるとき、\(\tan^{-1}\) の分母（ATAN2(X, Y) の X) が負となり、赤経高弧交角が鈍角になることがある。暦法新書（寛政）においては、こういうケースについての注記がいろいろ書いてあったが、日本でそれを気にする意味はないので、新法暦書では特段注記されていない。

白道高弧交角

求初虧白道高弧交角「置白道赤経交角、加減初虧赤経高弧交角、得初虧白道高弧交角（太陰赤道経度、初宮至五宮者、太陰在午東則加。加過九十度、則与半周天相減、亦為限東。如相加不及九十度、則不与半周天相減、変為限西。太陰在午西則減、亦為限西。如所余過九十度、則以減半周天、用其余、変為限東。太陰赤道経度、六宮至十一宮者、太陰在午東則減、亦為限東。如所余過九十度、則以減半周天、用其余、変為限西。太陰在午西則加。加過九十度、則与半周天相減、亦為限西。如相加不及九十度、則不与半周天相減、変為限東。如太陰在正午、無赤経高弧交角、則白道赤経交角即白道高弧交角。太陰赤道経度、初宮至五宮為限西、六宮至十一宮為限東。如白道高弧交角過九十度、則与半周天相減、用其余、限西変為限東、限東変為限西。又、白道高弧交角適当九十度、則太陰正当白平象限）」
白道赤経交角を置き、初虧赤経高弧交角を加減し、初虧白道高弧交角を得（太陰赤道経度、初宮より五宮に至るは、太陰午東に在れば則ち加ふ。加へて九十度を過ぐれば、則ち半周天と相減じ、また限東と為す。もし相加へて九十度に及ばざれば、則ち半周天と相減ぜず、変じて限西と為す。太陰午西に在れば則ち減じ、また限西と為す。もし余るところ九十度を過ぐれば、則ち以って半周天より減じ、其の余りを用ゐ、変じて限東と為す。太陰赤道経度、六宮より十一宮に至るは、太陰午東に在れば則ち減じ、また限東と為す。もし余るところ九十度を過ぐれば、則ち以って半周天より減じ、其の余りを用ゐ、変じて限西と為す。太陰午西に在れば則ち加ふ。加へて九十度を過ぐれば、則ち半周天と相減じ、また限西と為す。もし相加へて九十度に及ばざれば、則ち半周天と相減ぜず、変じて限東と為す。もし太陰正午に在れば、赤経高弧交角無く、則ち白道赤経交角即ち白道高弧交角。太陰赤道経度、初宮より五宮に至るは限西と為し、六宮より十一宮に至るは限東と為す。もし白道高弧交角九十度を過ぐれば、則ち半周天と相減じ、其の余りを用ゐ、限西変じて限東と為し、限東変じて限西と為す。又、白道高弧交角、適たま九十度に当たれば、則ち太陰正に白平象限に当たる）。
求食甚白道高弧交角「置白道赤経交角、加減食甚赤経高弧交角、得食甚白道高弧交角（定加減、及、距限之東西、与求初虧白道高弧交角同）」
白道赤経交角を置き、食甚赤経高弧交角を加減し、食甚白道高弧交角を得（加減を定むる、及び、距限の東西、求初虧白道高弧交角と同じ）
求復円白道高弧交角「置白道赤経交角、加減復円赤経高弧交角、得復円白道高弧交角（定加減、及、距限之東西、与求初虧白道高弧交角同）」
白道赤経交角を置き、復円赤経高弧交角を加減し、復円白道高弧交角を得（加減を定むる、及び、距限の東西、求初虧白道高弧交角と同じ）
\[ \begin{align}
\text{白道高弧交角}(@\text{初虧}) &= \text{白道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧}) \\
\text{白道高弧交角}(@\text{食甚}) &= \text{白道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{食甚}) \\
\text{白道高弧交角}(@\text{復円}) &= \text{白道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{復円})
\end{align} \]

白道赤経交角と赤経高弧交角から、白道高弧交角を求める。

当ブログの式において、白道赤経交角は「赤道南極方向を起点 0° として白道前方方向を時計回りに測った角」である。また、赤経高弧交角は「上方を起点 0° として赤道北極方向を時計回りに測った角」、または、その裏を考えれば「下方を起点 0° として赤道南極方向を時計回りに測った角」。

よって、両者を足し合わせれば「下方を起点 0° として白道前方方向を時計回りに測った角」となる。

新法暦書の計算においてどうしているのかというと、白道赤経交角は、

• 月の赤経が第1, 2象限のとき: 赤道北極方向を起点 0° として白道前方方向を反時計回りに測った角
• 月の赤経が第3, 4象限のとき: 赤道南極方向を起点 0° として白道前方方向を時計回りに測った角

である。また、赤経高弧交角は、

• 午東のとき: 上方を起点 0° として赤道北極方向を（下方を起点 0° として赤道南極方向を）反時計回りに測った角
• 午西のとき: 上方を起点 0° として赤道北極方向を（下方を起点 0° として赤道南極方向を）時計回りに測った角

である。ともに時計回り・ともに反時計回りなら両者を加算し、片や時計回り片や反時計回りなら減算し、

• 限西: 上方を起点 0° として白道前方方向を反時計回りに測った角、または、
• 限東: 下方を起点 0° として白道前方方向を時計回りに測った角

のどちらかを得る。「限西」の角と「限東」の角とは相互に外角。もし「限西」として求めると鈍角となる、または「限東」として求めると鈍角となるとき、外角を取って鋭角とし、限の東西を反転する。

「限西」「限東」というのは、白道前方方向を測るのに、上方から測った方が近いとすると、白道北極方向は上方の右/西/時計回りにあるので「限西」。逆に下方から測った方が近いとすると、白道北極方向は上方の左/東/反時計回りにあるので「限東」と呼んでいるのだろう。

定交角

求初虧定交角（即初虧併径高弧交角）「置初虧白道高弧交角、加減初虧復円緯差角、得初虧定交角（限東者、食甚実緯南則加、北則減、不足減者、加周天減之。限西者、食甚実緯北則加、南則減、不足減者、加周天減之。如無初虧復円緯差角、則白道高弧交角即定交角」
初虧白道高弧交角を置き、初虧復円緯差角を加減し、初虧定交角を得（限東は、食甚実緯南は則ち加へ、北は則ち減じ、減に足らざれば、周天を加へこれを減ず。限西は、食甚実緯北は則ち加へ、南は則ち減じ、減に足らざれば、周天を加へこれを減ず。もし初虧復円緯差角無ければ、則ち白道高弧交角即ち定交角。
求食甚定交角（即食甚実緯高弧交角）「置食甚白道高弧交角、加九十度、得食甚定交角」
食甚白道高弧交角を置き、九十度を加へ、食甚定交角を得。
求復円定交角（即復円併径高弧交角）「置復円白道高弧交角、加減初虧復円緯差角、得復円定交角（限東者、食甚実緯北則加、南則減、不足減者、加周天減之。限西者、食甚実緯南則加、北則減、不足減者、加周天減之。如無初虧復円緯差角、則白道高弧交角即定交角」
復円白道高弧交角を置き、初虧復円緯差角を加減し、復円定交角を得（限東は、食甚実緯北は則ち加へ、南は則ち減じ、減に足らざれば、周天を加へこれを減ず。限西は、食甚実緯南は則ち加へ、北は則ち減じ、減に足らざれば、周天を加へこれを減ず。もし初虧復円緯差角無ければ、則ち白道高弧交角即ち定交角。
求初虧方向度「初虧限東者、初虧定交角即初虧方向度。限西者、以初虧定交角減半周天（不足減者、加周天減之）、為初虧方向度（初度起於月体下方、月輪周左旋之数也。食甚・復円亦同）」
初虧限東は、初虧定交角即ち初虧方向度。限西は、初虧定交角を以って半周天より減じ（減に足らざれば、周天を加へこれを減ず）、初虧方向度と為す（初度、月体下方より起し、月輪周左旋の数なり。食甚・復円また同じ）
求食甚方向度「食甚限東者、食甚実緯、南則食甚定交角即食甚方向度、北則以食甚定交角加半周天、為食甚方向度。限西者、食甚実緯、南則以食甚定交角減周天、為食甚方向度、北則以食甚定交角減半周天（不足減者、加周天減之）、為食甚方向度」
食甚限東は、食甚実緯、南は則ち食甚定交角即ち食甚方向度、北は則ち食甚定交角を以って半周天に加へ、食甚方向度と為す。限西は、食甚実緯、南は則ち食甚定交角を以って周天より減じ、食甚方向度と為し、北は則ち食甚定交角を以って半周天より減じ（減に足らざれば、周天を加へこれを減ず）、食甚方向度と為す。
求復円方向度「復円限東者、復円定交角加半周天（満周天去之）、為復円方向度。限西者、以復円定交角減周天、為復円方向度」
復円限東は、復円定交角、半周天を加へ（満周天これを去く）、復円方向度と為す。限西は、復円定交角を以って周天より減じ、復円方向度と為す。
求初虧食甚復円方位「視初虧・食甚・復円方向度、初度為下方、二十二度半為下偏左、四十五度為左方下方之間、六十七度半為左偏下、九十度為左方、一百一十二度半為左偏上、一百三十五度為上方左方之間、一百五十七度半為上偏左、一百八十度為上方、二百零二度半為上偏右、二百二十五度為上方右方之間、二百四十七度半為右偏上、二百七十度為右方、二百九十二度半為右偏下、三百一十五度為右方下方之間、三百三十七度半為下偏右、三百六十度為下方（以月輪周為三百六十度、分十六処。則各差二十二度半。用上下左右分方位）」
初虧・食甚・復円方向度を視、初度、下方と為し、二十二度半、下偏左と為し、四十五度、左方下方の間と為し、六十七度半、左偏下と為し、九十度、左方と為し、一百一十二度半、左偏上と為し、一百三十五度、上方左方の間と為し、一百五十七度半、上偏左と為し、一百八十度、上方と為し、二百零二度半、上偏右と為し、二百二十五度、上方右方の間と為し、二百四十七度半、右偏上と為し、二百七十度、右方と為し、二百九十二度半、右偏下と為し、三百一十五度、右方下方の間と為し、三百三十七度半、下偏右と為し、三百六十度、下方と為す（月輪周を以って三百六十度と為し、十六処に分く。則ち各おの二十二度半を差す。上下左右を用ゐ方位を分く）
求食限総時「置初虧復円距時、倍之、得食限総時」
初虧復円距時を置き、これを倍し、食限総時を得。
\[ \begin{align}
\text{方向度}(@\text{初虧}) &= \text{白道高弧交角} - \text{初虧復円緯差角} \\
\text{方向度}(@\text{食甚}) &= \begin{cases}
\text{月が北 (} \text{食甚実緯} \gt 0° \text{): }&\text{白道高弧交角} - 90° \\
\text{月が南 (} \text{食甚実緯} \lt 0° \text{): }&\text{白道高弧交角} + 90° \\
\text{月がちょうど黄道上(食甚実緯 = 0°): }&\text{方向度は定義できない}
\end{cases} \\
\text{方向度}(@\text{復円}) &= \text{白道高弧交角} + 180° + \text{初虧復円緯差角} \\
\text{食限総時} &= \text{初虧復円距時} \times 2
\end{align} \]

当ブログの式では、「白道高弧交角」は、下方を起点 0° として白道前方を時計回りに測った角である。一方、「初虧復円緯差角」は白道前方を起点 0° として初虧時方向角を反時計回りに測った角である。よって、「白道高弧交角」から「初虧復円緯差角」を減算すれば、「下方を起点 0° として初虧時方向角を時計回りに測った角」が求まる。

復円についてはというと、「白道高弧交角」に 180° を加算して真裏をとれば「下方を起点 0° として白道後方を時計回りに測った角」ともなる。そして「初虧復円緯差角」は「白道後方を起点 0° として復円時方向角を時計回りに測った角」でもある。よって、両者を加算すると、「下方を起点 0° として復円時方向角を時計回りに測った角」となる。

食甚の式はあまりきれいじゃないかも知れない。食甚実緯が正（月が黄道の北）のとき、食甚時の月は地球影の北（白道北極方向）、よって地球影は月の南（白道南極方向）にある。食甚実緯が負（月が黄道の南）のとき、食甚時の月は地球影の南（白道南極方向）、よって地球影は月の北（白道北極方向）にある。白道北極方向は、白道前方を起点に時計回りに 90°、白道南極方向は、白道前方を起点に反時計回りに 90°。これに従い、白道高弧交角±90° を計算すれば、食甚時の方向角が求まる。食甚実緯がゼロのときは、食甚時に月中心と地球影中心とが一点に重なるので、方向角は定義できない。

さて、新法暦書の計算ではどうなっているか。新法暦書において「白道高弧交角」は、

• 限西:
• 上方を起点 0° として白道前方方向を反時計回りに測った角
  （裏を考えれば、下方を起点 0° として白道後方方向を反時計回りに測った角でもある）
  
• 限東:
• 下方を起点 0° として白道前方方向を時計回りに測った角
  （裏を考えれば、上方を起点 0° として白道後方方向を時計回りに測った角でもある）

であり、「初虧復円緯差角」は

• 食甚実緯北:
• 白道前方を起点 0° として、初虧時方向角を反時計回りに測った角。
  白道後方を起点 0° として、復円時方向角を時計回りに測った角でもある。
• 食甚実緯南:
• 白道前方を起点 0° として、初虧時方向角を時計回りに測った角。
  白道後方を起点 0° として、復円時方向角を反時計回りに測った角でもある。

 である。

「初虧定交角」は、白道高弧交角から初虧復円緯差角を加減（ともに時計回り・ともに反時計回りなら加え、片や時計回り片や反時計回りなら引く）して

• 限西: 上方を起点 0° として初虧時方向角を反時計回りに測った角
• 限東: 下方を起点 0° として初虧時方向角を時計回りに測った角

として算出されることになる。この「初虧定交角」について、限東はそのまま使い、限西はその外角をとって、「下方を起点 0° として初虧時方向角を時計回りに測った角」に統一したものが「初虧方向度」である。

「食甚定交角」は、白道高弧交角に常に 90° を加算して求めている。これについて

• 限西・食甚実緯北（食甚方向角 = 白道南極方向）:
• 白道高弧交角（上方を起点 0° として白道前方方向を反時計回りに測った角）からさらに 90° 反時計回りに測った角。
  → 上方を起点 0° として食甚時方向角を反時計回りに測った角
• 限西・食甚実緯南（食甚方向角 = 白道北極方向）：
• 白道高弧交角（下方を起点 0° として白道後方方向を反時計回りに測った角）からさらに 90° 反時計回りに測った角。
  → 下方を起点 0° として食甚時方向角を反時計回りに測った角
• 限東・食甚実緯北（食甚方向角 = 白道南極方向）:
• 白道高弧交角（上方を起点 0° として白道後方方向を時計回りに測った角）からさらに 90° 時計回りに測った角。
  → 上方を起点 0° として食甚時方向角を時計回りに測った角
• 限東・食甚実緯南（食甚方向角 = 白道北極方向）：
• 白道高弧交角（下方を起点 0° として白道前方方向を時計回りに測った角）からさらに 90° 時計回りに測った角。
  → 下方を起点 0° として食甚時方向角を時計回りに測った角

 として「食甚定交角」が求められていることになる。

「食甚方向度」は、「限東・食甚実緯南」は、定交角をそのまま用い、「限東・食甚実緯北」は、定交角に 180° を加算して上方起点ではなく下方起点の角とする。「限西・食甚実緯南」は、360° から引き（角の符号を反転させるのに等しい）反時計回りの角を時計回りの角とする。「限西・食甚実緯北」は、外角をとって「上方を起点に反時計回り」でなく「下方を起点に時計回り」とする。以上のように「食甚方向度」を算出することによって「下方を起点 0° として食甚時方向角を時計回りに測った角」に統一される。

 「復円定交角」は、「白道高弧交角」を白道後方の方向を測ったものとして捉えて、この方向を初虧復円緯差角で調整すれば、

• 限西: 下方を起点 0° として復円時方向角を反時計回りに測った角
  
• 限東: 上方を起点 0° として復円時方向角を時計回りに測った角

として算出される。

「復円方向度」は、限東の場合、180° を加算して真裏をとれば、上方起点でなく下方起点の角となる。限西の場合、360° から引き、反時計回りの角を時計回りの角とする。これによって「下方を起点 0° として復円時方向角を時計回りに測った角」に統一される。

以上により、すべて、 「下方を起点 0° として時計回りに測った角」として初虧・食甚・復円の方向度を求めているわけである。

食既・生光時の方向角

食既（皆既のはじめ）・生光（皆既のおわり）時の方向角算出方法は、新法暦書で規定されていないし、頒暦記載にあたって必要でもないが、初虧・復円での算出方法から類推することはできる。「初虧・復円・併径」をすべて「食既・生光・両径較」に置き換えて考えればよい。

\[ \begin{align}
\text{食既生光緯差角} &= \sin^{-1} {\text{食甚実緯} \over \text{両径較}} \\
\text{食既生光赤道距弧} &= \text{食既生光距弧} \sin(\text{白道赤経交角}) \\
\text{食既太陰赤道経度} &= \text{食甚太陰赤道経度} - \text{食既生光赤道距弧} \\
\text{生光太陰赤道経度} &= \text{食甚太陰赤道経度} + \text{食既生光赤道距弧} \\
\text{太陰距午赤道度}(@\text{食既}) &= {360° \over 1_\text{日}} \text{食既時刻} + 180° + \text{太陽赤道経度}(@\text{実望実日時}) - \text{食既太陰赤道経度} \\
\text{太陰距午赤道度}(@\text{生光}) &= {360° \over 1_\text{日}} \text{生光時刻} + 180° + \text{太陽赤道経度}(@\text{実望実日時}) - \text{生光太陰赤道経度} \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{食既}) &= \tan^{-1} {\sin(\text{太陰距午赤道度}(@\text{食既})) \over \text{汎法} - \cos(\text{太陰距午赤道度}(@\text{食既})) \sin(\text{食甚太陰赤道緯度})} \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{生光}) &= \tan^{-1} {\sin(\text{太陰距午赤道度}(@\text{生光})) \over \text{汎法} - \cos(\text{太陰距午赤道度}(@\text{生光})) \sin(\text{食甚太陰赤道緯度})} \\
\text{白道高弧交角}(@\text{食既}) &= \text{白道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{食既}) \\
\text{白道高弧交角}(@\text{生光}) &= \text{白道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{生光}) \\
\text{方向度}(@\text{食既}) &= \text{白道高弧交角} - \text{食既生光緯差角} \\
\text{方向度}(@\text{生光}) &= \text{白道高弧交角} + 180° + \text{食既生光緯差角}
\end{align} \]

帯食時の方向角

求帯食緯差角（即帯食両心相距白道交角）「以帯食両心相距為一率、食甚実緯為二率、半径為三率、求得四率為正弦、検表得帯食緯差角（如無食甚実緯、則無帯食緯差角、帯食白道高弧交角即帯食定交角）」
帯食両心相距を以って一率と為し、食甚実緯、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正弦と為し、表を検じ帯食緯差角を得（もし食甚実緯無ければ、則ち帯食緯差角無く、帯食白道高弧交角即ち帯食定交角）。
求帯食赤経高弧交角「以太陽赤道緯度之余弦為一率、北極高度之正弦為二率、半径為三率、求得四率為余弦、検表得帯食赤経高弧交角。帯食出地者、太陰在午東。帯食入地者、太陰在午西」
太陽赤道緯度の余弦を以って一率と為し、北極高度の正弦、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、余弦と為し、表を検じ帯食赤経高弧交角を得。帯食出地は、太陰午東に在り。帯食入地は、太陰午西に在り。
求帯食白道高弧交角「置白道赤経交角、加減帯食赤経高弧交角、得帯食白道高弧交角（加減、与求初虧・食甚・復円白道高弧交角同）」
白道赤経交角を置き、帯食赤経高弧交角を加減し、帯食白道高弧交角を得（加減、求初虧・食甚・復円白道高弧交角と同じ）。
求帯食定交角（即帯食両心相距高弧交角）「置帯食白道高弧交角、加減帯食緯差角、得帯食定交角（加減、与求初虧・復円定交角同。食甚前、与初虧同。食甚後、与復円同）」
帯食白道高弧交角を置き、帯食緯差角を加減し、帯食定交角を得（加減、求初虧・復円定交角と同じ。食甚前は、初虧と同じ。食甚後は、復円と同じ）。
求帯食方向度「食甚前、与求初虧方向度同。食甚後、与求復円方向度同」
食甚前は、求初虧方向度と同じ。食甚後は、求復円方向度と同じ。
求帯食方位「与求初虧・食甚・復円方位同」
求初虧・食甚・復円方位と同じ。
\[ \begin{align}
\text{帯食緯差角} &= \tan^{-1} {\text{食甚実緯} \over - \text{帯食距弧}} \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{出帯時}) &= - \cos^{-1} {\sin(\text{北極高度}) \over \cos(\text{太陽赤道緯度}(@\text{実望実日時}))} \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{入帯時}) &= + \cos^{-1} {\sin(\text{北極高度}) \over \cos(\text{太陽赤道緯度}(@\text{実望実日時}))} \\
\text{白道高弧交角}(@\text{出入帯時}) &= \text{白道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{出入帯時}) \\
\text{方向度}(@\text{出入帯時}) &= \text{白道高弧交角}(@\text{出入帯時}) - \text{帯食緯差角}
\end{align} \]

出入帯のときの方向角を求める。新法暦書に算出方法が記載されているが、頒暦の食記事記載にあたって必要なわけではない。

「帯食緯差角」は「初虧復円緯差角」の類似概念である。新法暦書の記載どおりに式に起こすなら
\[ \begin{align}
\text{帯食緯差角} &= \sin^{-1} {\text{食甚実緯} \over \text{帯食両心相距}} = \sin^{-1} {\text{食甚実緯} \over \sqrt{(\text{帯食距弧})^2 + (\text{食甚実緯})^2}} \\
\text{方向度}(@\text{出入帯時}) &=\begin{cases}
\text{出入帯時が、食甚前のとき: } & \text{白道高弧交角}(@\text{出入帯時}) - \text{帯食緯差角} \\
\text{出入帯時が、食甚後のとき: } & \text{白道高弧交角}(@\text{出入帯時}) + 180° + \text{帯食緯差角}
\end{cases}
\end{align} \]
みたいな感じになろうか。「食甚前の出入帯は初虧のように計算し、食甚後の出入帯は復円のように計算し」のような形である。しかし、これだと、食甚前か後かで場合分けが必要であり煩雑なため、ASIN でなく ATAN2 を使った式にリライトしている。
\(\text{帯食緯差角} = \tan^{-1} {\text{食甚実緯} \over - \text{帯食距弧}}\)
だと、食甚後（帯食距弧が正）のとき、分母（ATAN2(X, Y) の X）が負となり、ASIN で計算したものの外角として帯食緯差角が算出されるから、食甚前の場合と同様の計算をすれば、自然に食甚後の算出が可能となる。

この帯食緯差角は、「白道前方を起点 0° として出入帯時の方向角を反時計回りに測った角」となる。これを白道高弧交角（下方を起点 0° として白道前方を時計回りに測った角）から引けば「下方を起点 0°として出入帯時の方向角を時計回りに測った角」が求められる。

赤経高弧交角の算出は、暦法新書（寛政）と同様で、出入時の月は地平線上にあり、必ず天頂からの角距離が 90° となることから、辺 \(c = 90°\) とする象限球面三角形の公式 \(\cos a = \sin b \cos \angle \mathrm{A}\) を用いている。

地球影を A とし、天頂を B とし、赤道北極を C とする。A の対辺 \(a\) は天頂～赤道北極の距離であり \(90° - \text{北極高度}\)。B の対辺 \(b\) は赤道北極～地球影の距離であり \(90° - \text{地球影赤道緯度}\)。C の対辺 \(c\) は天頂～地球影の距離であり、月食時には天頂～月の距離にほぼ等しく、月出入時は 90° と考えてよい。求めたい赤経高弧交角は地球影から見て上方（天頂方向）と赤道北極方向との離角であり、すなわち \(\angle \mathrm{A}\) である。

公式にあてはめれば
\[ \begin{align}
\cos a &= \sin b \cos \angle \mathrm{A} \\
\cos(90° - \text{北極高度}) &= \sin(90° - \text{地球影赤道緯度}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
\sin(\text{北極高度}) &= \cos(\text{地球影赤道緯度}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
&= \cos(- \text{太陽赤道緯度}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
&= \cos(\text{太陽赤道緯度}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
\cos(\text{赤経高弧交角}) &= {\sin(\text{北極高度}) \over \cos(\text{太陽赤道緯度})}
\end{align} \]
として、赤経高弧交角が求められる。

地方食

推各方月食用数
江戸北極高三十五度六十七分五十六秒
江戸里差一百十三分
長崎北極高三十二度七十七分五十六秒
長崎里差一百六十一分三十四秒
推各方月食法
求各方月食時刻「置月食時刻、加減各方里差（江戸則加、長崎則減）、得各方月食時刻」
月食時刻を置き、各方里差を加減し（江戸は則ち加へ、長崎は則ち減ず）、各方月食時刻を得。
求各方月食方位「用各方北極高度及各方月食時刻、依推月食方位法算之、得各方月食方位」
各方北極高度及び各方月食時刻を用ゐ、推月食方位法に依りこれを算し、各方月食方位を得。
求各方帯食分「用各方太陰出入地時分及各方食甚時分、依推月食帯食法算之、得各方帯食分」
各方太陰出入地時分及び各方食甚時分を用ゐ、推月食帯食法に依りこれを算し、各方帯食分を得。
\[ \begin{align}
\text{江戸北極高度} &= 35°.6756 \\
\text{江戸里差} &= +0.0113_\text{日} &(\text{東経4°.068}) \\
\text{長崎北極高度} &= 32°.7756 \\
\text{長崎里差} &= -0.016134_\text{日} &(\text{西経5°.80824})
\end{align} \]

暦法新書（寛政）においては、地方食の算出方法が明記されていなかったので、当ブログにおいては、そのもととなった暦象考成後編の記載を参考とした。しかし、暦象考成後編は当然、中国のことしか書いていないわけなので、計算方法そのものはわかるとしても、日本の地方（江戸・長崎）の経緯度がわからず、頒暦の食記事が帰納して経緯度を推定した。

天保暦（新法暦書）においては、ちゃんと地方食の算出方法が記載されていて、江戸・長崎の経緯度も記載されている（経度は、京都を基準子午線とする経度）。

計算方法としては、暦象考成後編に記載されているのと同様である。里差（時差）によって、月食時刻を京都真太陽時から、江戸/長崎真太陽時に変換する。方向角や月出入時刻の算出にあたっては、地点緯度（北極高度）が必要だが、それには然るべく江戸/長崎の北極高度を用いる。

 

以上で、天保暦の月食法の説明はひととおり完了。

次回からは、天保暦の日食法について。

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[参考文献]

渋川 景祐; 足立 信頭「新法暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵

渋川 景祐; 足立 信行「新法暦書続編」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵