前回までで、天保暦の日食の食甚算出が完了した。今回は、初虧（かけはじめ）・復円（かけおわり）の算出を行う。初虧・復円は、月と太陽の視距離（両心視相距）が「併径」 であるときなので、そうなる時刻を漸近的に求めていくことになる。
初虧復円用時
推初虧近時第十三
求初虧復円平距（即初虧復円距弧。因距食甚用時之度名距弧、故此名平距弧、以別之）「以食甚定真時両心視相距為勾、真時併径為弦、求得股為初虧復円平距（如無定真時両心視相距、則真時併径即初虧復円平距）」
（即ち初虧復円距弧。食甚用時を距つるの度を距弧と名づくるに因り、故に此を平距弧と名づけ、以ってこれを別く）食甚定真時両心視相距を以って勾と為し、真時併径、弦と為し、求めて得る股、初虧復円平距と為す（もし定真時両心視相距無ければ、則ち、真時併径即ち初虧復円平距）。
求初虧復円用時距分「以定真時視行為一率、定真時距分為二率、初虧復円平距為三率、求得四率為初虧復円用時距分」
定真時視行を以って一率と為し、定真時距分、二率と為し、初虧復円平距、三率と為し、求めて得る四率、初虧復円用時距分と為す。
求初虧用時「置食甚定真時、減初虧復円用時距分、得初虧用時」
食甚定真時を置き、初虧復円用時距分を減じ、初虧用時を得。
「食甚定真時両心視相距」は、真の食甚時刻において、観測者から見たときの月と太陽の視距離である。食甚近辺の月は、ざっくりと言えば直線に近い動きをすると考えられ、そして、食甚定真時の月は太陽に最接近しているはずなので、そのときの月の位置は、太陽から月が動く直線に降ろした垂線の足であるはず。初虧・復円とは、月と太陽との視距離がちょうど併径となるとき。太陽と初虧・復円時の月との距離が視併径、太陽と食甚定真時の月との視距離が食甚定真時両心視相距。以上のことから、初虧・復円時の月と食甚定真時の月との視距離は、三平方の定理で、
そして、食甚近時から食甚定真時の間に月が動く視距離が「定真時視行」であった。これを、食甚近時から食甚定真時の間の時間差「定真時距分」で割った
初虧・復円時の月と食甚定真時の月との視距離「初虧復円平距」を、この角速度で割ってやれば、初虧・復円と食甚定真時との時間差「初虧復円用時距分」を求めることが出来る。食甚定真時よりも、この時間差だけ前の時刻を「初虧用時」とする。
「初虧用時」は、食甚近辺の視月が直線運動しているとしたざっくり近似によるものなので、真の初虧時刻は、この後、漸近的に求めていくこととなる。
初虧用時の位置計算
求初虧用時太陽距午赤道度「……(略)……」
求初虧用時赤道東西差「……(略)……」
求初虧用時赤道南北差「……(略)……」
求初虧用時東西汎差「……(略)……」
求初虧用時東西二差「……(略)……」
求初虧用時東西加減差「……(略)……」
求初虧用時東西差「……(略)……」
求初虧用時南北一差「……(略)……」
求初虧用時南北二差「……(略)……」
求初虧用時南北加減差「……(略)……」
求初虧用時南北差「……(略)……」
求初虧用時実距弧之正弦「……(略)……」
求初虧用時視距弧之正弦「……(略)……」
求初虧用時視緯之正弦「……(略)……」
求初虧用時視距弧両心視相距交角「……(略)……」
求初虧用時両心視相距之正弦「……(略)……」
求初虧用時月距人二差「……(略)……」
求初虧用時減差「……(略)……」
求初虧用時両心実相距余弦較「……(略)……」
求初虧用時月距人線「……(略)……」
求初虧用時両心視相距「……(略)……」
求初虧用時太陰視半径「……(略)……」
求初虧用時併径「……(略)……」
初虧用時における諸数を計算する。食甚のときと変わらないので、新法暦書の条文は省略する。
初虧近時
求初虧近時距分「以初虧用時両心視相距為一率、初虧復円用時距分為二率、初虧用時両心視相距与初虧用時併径相減、為三率、求得四率、為初虧近時距分。初虧用時両心視相距、大於初虧用時併径、則為加、小於初虧用時併径、則為減」
初虧用時両心視相距を以って一率と為し、初虧復円用時距分、二率と為し、初虧用時両心視相距と初虧用時併径と相減じ、三率と為し、求めて得る四率、初虧近時距分と為す。初虧用時両心視相距、初虧用時併径より大なれば、則ち加と為し、初虧用時併径より小なれば、則ち減と為す。
求初虧近時「置初虧用時、加減初虧近時距分、得初虧近時」
初虧用時を置き、初虧近時距分を加減し、初虧近時を得。
初虧用時時点で、両心視相距が併径となっていれば、ちょうどそのときが真の初虧時刻なのだろうが、おそらくはちょっとずれているだろう。
食甚定真時時点の月～太陽の視距離がゼロであるものとし（実際はそうじゃないが、漸近の手始めなのでまあよかろう）初虧用時→食甚定真時の間（初虧復円用時距分の間）に、月～太陽の視距離は、両心視相距(@初虧用時)→ゼロとなるので、一定ペースで減少するものとして、比例案分して、両心視相距
= 併径となっていそうな時刻「初虧近時」を求める。
初虧近時の位置計算
推初虧真時及定真時第十四同様に、初虧近時の諸数を計算する。
求初虧近時太陽距午赤道度「……(略)……」
求初虧近時赤道東西差「……(略)……」
求初虧近時赤道南北差「……(略)……」
求初虧近時東西汎差「……(略)……」
求初虧近時東西二差「……(略)……」
求初虧近時東西加減差「……(略)……」
求初虧近時東西差「……(略)……」
求初虧近時南北一差「……(略)……」
求初虧近時南北二差「……(略)……」
求初虧近時南北加減差「……(略)……」
求初虧近時南北差「……(略)……」
求初虧近時実距弧之正弦「……(略)……」
求初虧近時視距弧之正弦「……(略)……」
求初虧近時視緯之正弦「……(略)……」
求初虧近時視距弧両心視相距交角「……(略)……」
求初虧近時両心視相距之正弦「……(略)……」
求初虧近時両心視相距「……(略)……」
併径は、初虧用時で計算したものを流用し、初虧近時におけるものを計算し直しはしないので、併径、および、それに必要な諸数（月距人二差、減差、両心実相距の余弦較、月距人線、太陰視半径）は計算しない。
初虧真時
求初虧真時距分「以初虧用時両心視相距与初虧近時両心視相距相減、為一率、初虧近時距分為二率、初虧用時両心視相距与初虧用時併径相減、為三率、求得四率、為初虧真時距分（加減号、与初虧近時距分同）」
初虧用時両心視相距を以って初虧近時両心視相距と相減じ、一率と為し、初虧近時距分、二率と為し、初虧用時両心視相距と初虧用時併径と相減じ、三率と為し、求めて得る四率、初虧真時距分と為す（加減の号、初虧近時距分と同じ）。
求初虧真時「置初虧用時、加減初虧真時距分、得初虧真時（乃用初虧真時、依前法求両心視相距、為考真時両心視相距。其数、与初虧用時併径相等、則初虧真時即定真時。如或大或小、則復用下法、求之）」
初虧用時を置き、初虧真時距分を加減し、初虧真時を得（すなはち初虧真時を用ゐ、前法に依り両心視相距を求め、考真時両心視相距と為す。その数、初虧用時併径と相等しければ、則ち初虧真時即ち定真時。もし或いは大或いは小なれば、則ちまた下法を用ゐ、これを求む）。
用時→近時の間に、日月視距離が、両心視相距(＠用時)→両心視相距(＠近時)
になるので、時間按分して、日月視距離が併径(@用時)になるであろう時刻「初虧真時」を求める。
初虧真時の位置計算
計算方法は全く同じなので、ついに初虧真時の算出のところで「初虧真時を用ゐ、前法に依り両心視相距を求め、考真時両心視相距と為す」と一言書かれるだけになってしまったが、初虧真時における位置計算を行い、両心視相距を求める。
また、あとで初虧の方向角を求めるときに使うので、視距弧両心視相距交角も求めておく。
初虧定真時
求初虧真時距分「以初虧近時両心視相距与初虧考真時両心視相距相減、為一率、初虧近時距分与初虧真時距分相減、為二率、初虧考真時両心視相距与初虧用時併径相減、為三率、求得四率為初虧定真時距分。初虧真時両心視相距、大於初虧用時併径、則為加、小於初虧用時併径、則為減」
初虧近時両心視相距を以って初虧考真時両心視相距と相減じ、一率と為し、初虧近時距分と初虧真時距分と相減じ、二率と為し、初虧考真時両心視相距と初虧用時併径と相減じ、三率と為し、求めて得る四率、初虧定真時距分と為す。初虧真時両心視相距、初虧用時併径より大なれば、則ち加と為し、初虧用時併径より小なれば、則ち減と為す。
求初虧真時「置初虧真時、加減初虧定真時距分、得初虧定真時」
初虧真時を置き、初虧定真時距分を加減し、初虧定真時を得。
真時→近時の間に、日月視距離が、両心視相距(＠真時)→両心視相距(＠近時) になるので、時間按分して、日月視距離が併径(@用時)になるであろう時刻「初虧定真時」を求める。
これが真の初虧時刻となる。
復円用時
推復円近時第十五お次は復円だが、初虧と変わるところはない。復円用時は、食甚定真時に初虧復円用時距分を加える。
求復円用時「置食甚定真時、加初虧復円用時距分、得復円用時」
食甚定真時を置き、初虧復円用時距分を加え、復円用時を得。
復円用時の位置計算
復円用時の両心視相距と併径を求めるが、詳細省略。
復円近時
求復円近時距分「以復円用時両心視相距為一率、初虧復円用時距分為二率、復円用時両心視相距与復円用時併径相減、為三率、求得四率、為復円近時距分。復円用時両心視相距、大於復円用時併径、則為減、小於復円用時併径、則為加」復円近時を求める。初虧近時の計算と時間の前後関係は逆になるが、計算方法は同じ。
復円用時両心視相距を以って一率と為し、初虧復円用時距分、二率と為し、復円用時両心視相距と復円用時併径と相減じ、三率と為し、求めて得る四率、復円近時距分と為す。復円用時両心視相距、復円用時併径より大なれば、則ち減と為し、復円用時併径より小なれば、則ち加と為す。
求復円近時「置復円用時、加減復円近時距分、得復円近時」
復円用時を置き、復円近時距分を加減し、復円近時を得。
復円近時の位置計算
復円近時の両心視相距を求める。詳細省略。
復円真時
求復円真時距分「以復円用時両心視相距与復円近時両心視相距相減、為一率、復円近時距分為二率、復円用時両心視相距与復円用時併径相減、為三率、求得四率、為復円真時距分（加減号、与復円近時距分同）」復円真時を求める。初虧真時の計算方法となにも変わらない。
復円用時両心視相距を以って復円近時両心視相距と相減じ、一率と為し、復円近時距分、二率と為し、復円用時両心視相距と復円用時併径と相減じ、三率と為し、求めて得る四率、復円真時距分と為す（加減の号、復円近時距分と同じ）。
求復円真時「置復円用時、加減復円真時距分、得復円真時（乃用復円真時、依前法求両心視相距、為考真時両心視相距。其数、与復円用時併径相等、則復円真時即定真時。如或大或小、則復用下法、求之）」
復円用時を置き、復円真時距分を加減し、復円真時を得（すなはち復円真時を用ゐ、前法に依り両心視相距を求め、考真時両心視相距と為す。その数、復円用時併径と相等しければ、則ち復円真時即ち定真時。もし或いは大或いは小なれば、則ちまた下法を用ゐ、これを求む）。
復円真時の位置計算
同様に復円真時の両心視相距と視距弧両心視相距交角を求める。復円定真時
求復円真時距分「以復円近時両心視相距与復円考真時両心視相距相減、為一率、復円近時距分与復円真時距分相減、為二率、復円考真時両心視相距与復円用時併径相減、為三率、求得四率為復円定真時距分。復円真時両心視相距、大於復円用時併径、則為減、小於復円用時併径、則為加」
復円近時両心視相距を以って復円考真時両心視相距と相減じ、一率と為し、復円近時距分と復円真時距分と相減じ、二率と為し、復円考真時両心視相距と復円用時併径と相減じ、三率と為し、求めて得る四率、復円定真時距分と為す。復円真時両心視相距、復円用時併径より大なれば、則ち減と為し、復円用時併径より小なれば、則ち加と為す。
求復円真時「置復円真時、加減復円定真時距分、得復円定真時」
復円真時を置き、復円定真時距分を加減し、復円定真時を得。
真の復円時刻「復円定真時」を求める。
食限総時
求食限総時「置復円定真時、減初虧定真時、得食限総時」食の総持続時間。
復円定真時を置き、初虧定真時を減じ、食限総時を得。
以上で初虧・復円の計算を終わる。
新法暦書に計算方法は記載されていないが、食既（皆既のはじめ）・生光（皆既のおわり）について計算するのであれば、上記のうち併径（食甚真時併径・初虧用時併径・復円用時併径）を用いているところで、すべて、両径較（月視半径と太陽視半径の差）を用いればもとめられそうだ。
のように、絶対値をとって太陽視半径の方が大きいケースもカバーしておけば、金環のはじめ・金環のおわりの計算も出来そう。
新法暦書巻四の掲載順序から言うと次は初虧・食甚・復円における方向角の算出なのだが、次回は帯食についてまず説明し、その次の回で初虧・食甚・復円と帯食の方向角算出をまとめて説明することにする。
ということで、 次回は帯食について。あわせて、地方食についても説明する。
[参考文献]
渋川 景祐; 足立 信頭「新法暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
渋川 景祐; 足立 信行「新法暦書続編」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
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