寛政暦の日食法 (5) 食甚本法 (2) 食甚設時・真時・定真時

[江戸頒暦の研究 総目次へ]

寛政暦の日食法において、食甚を求める漸近計算を行うふた通りの解法「本法」「又法」のうち、「本法」の説明を行っている。

前回は、食甚用時（視差を考慮しない月の位置が太陽に最接近する時刻）を求め、また、食甚用時における月の視差計算を行った。

今回は、「設時」を設定し、用時と設時の間を一次補間して「真時」を求め、さらに設時と真時の間を一次補間して「定真時」を求める。「定真時」が真の食甚時刻となる。

また、食甚における食分と方向角も算出する。

 

食甚設時

推食甚設時両心視相距及食甚真時第六
求食甚設時「用時白経高弧交角、東向前取、西向後取、角大遠取、角小近取（遠不過九刻、近或数分）、量距用時前後若干分、為食甚設時（如無用時白経高弧交角者、月在黄道南而、赤白二経交角西、則向後取、東、則向前取。月在黄道北而食甚実緯大於高下差者、赤白二経交角西、則向前取、東、則向後取。又、月在黄道北而食甚実緯小於高下差者、与月在黄道南者同。量距用時前後一刻、為食甚設時。若無白経高弧交角亦無赤白二経交角、則食甚用時為食甚定真時）」
用時白経高弧交角、東は前に向ひ取り、西は後に向ひ取り、角大なれば遠く取り、角小なれば近く取り（遠きは九刻に過ぎず、近きは或いは数分）、量って用時を距すること前後若干分、食甚設時と為す（もし用時白経高弧交角無ければ、月、黄道の南に在って、赤白二経交角西は、則ち後に向かって取り、東は、則ち前に向かって取る。月、黄道の北に在って、食甚実緯、高下差より大なれば、赤白二経交角西は、則ち前に向かって取り、東は、則ち後に向かって取る。又、月、黄道の北に在って、食甚実緯、高下差より小なれば、月の黄道南に在る者と同じ。量って用時を距すること前後一刻、食甚設時と為す。もし白経高弧交角無くまた赤白二経交角無ければ、則ち食甚用時、食甚定真時と為す）

食甚用時（視差を考慮しない月の位置（実月）が太陽に最接近する時刻）のあたりにあり、食甚用時より真の食甚時刻に近いであろう時刻として食甚設時を置く。用時～設時の間を一次補間して食甚真時を得るための一次近似なので、食甚設時の時刻設定は、おおざっぱでよい。 故に、時刻の算出方法は厳密には定義されていない (※)。

• (※) それが気持ち悪いので、私はこの「本法」を用いず、「又法」の方を使った。
  

とはいえ、おそらく、又法における近時と同じ計算で設時を置けばよかろうと思われる。

食甚設時の視差計算

求設時距分「以食甚設時与食甚用時相減、得設時距分」
食甚設時を以って食甚用時と相減じ、設時距分を得。
求設時距弧「以一小時分為一率、一小時両経斜距為二率、設時距分為三率、求得四率為設時距弧」
一小時分を以って一率と為し、一小時両経斜距、二率と為し、設時距分、三率と為し、求めて得る四率、設時距弧と為す。
求設時対距弧角「以食甚実緯為一率、設時距弧為二率、半径為三率、求得四率為対距弧角之正切線、検表得設時対距弧角（若無食甚実緯、則無設時対距弧角、即以設時距弧為設時両心実相距」
食甚実緯を以って一率と為し、設時距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、対距弧角の正切線と為し、表を検じ設時対距弧角を得（もし食甚実緯無ければ、則ち設時対距弧角無く、即ち設時距弧を以って設時両心実相距と為す。
求設時両心実相距「以設時対距弧角之正弦為一率、設時距弧為二率、半径為三率、求得四率為設時両心実相距」
設時対距弧角の正弦を以って一率と為し、設時距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、設時両心実相距と為す。
求設時太陽距午赤道度「以食甚設時与半日周相減、余数変赤道度、得設時太陽距午赤道度」
食甚設時を以って半日周と相減じ、余数、赤道度に変じ、設時太陽距午赤道度を得。
求設時赤経高弧交角「以北極距天頂為一辺、太陽距北極為一辺、設時太陽距午赤道度為所夾之角、用斜弧三角形法、求得対北極距天頂之角、為設時赤経高弧交角（法与求用時赤経高弧交角同）」
北極距天頂を以って一辺と為し（北極高度と九十度と相減じ、余り即ち北極距天頂）、太陽距北極、一辺と為し、設時太陽距午赤道度、夾むところの角と為し、斜弧三角形法を用ゐ、求めて得る対北極距天頂の角、設時赤経高弧交角と為す（法、求用時赤経高弧交角と同じ）。
求設時太陽距天頂「以設時赤経高弧交角之正弦為一率、北極距天頂之正弦為二率、設時太陽距午赤道度之正弦為三率、求得四率為太陽距天頂之正弦、検表得設時太陽距天頂」
設時赤経高弧交角の正弦を以って一率と為し、北極距天頂の正弦、二率と為し、設時太陽距午赤道度の正弦、三率と為し、求めて得る四率、太陽距天頂の正弦と為し、表を検じ設時太陽距天頂を得。
求設時高下差「以半径為一率、地平高下差為二率、設時太陽距天頂之正弦為三率、求得四率為設時高下差」
半径を以って一率と為し、地平高下差、二率と為し、設時太陽距天頂の正弦、三率と為し、求めて得る四率、設時高下差と為す。
求設時白経高弧交角「以設時赤経高弧交角与赤白二経交角相加減、得設時白経高弧交角（法与用時同）」
設時赤経高弧交角と赤白二経交角を以って相加減し設時白経高弧交角を得（法、用時と同じ）。
求設時対両心視相距角「月在黄道北、以設時白経高弧交角与設時対距弧角相減、余為対両心視相距角。対距弧角小、則実距在高弧之東西与白経同。対距弧角大、則白経在高弧西者実距在高弧東、白経在高弧東者実距在高弧西。月在黄道南、以設時白経高弧交角与設時対距弧角相加、得数与半周相減、余為対両心視相距角。白経在高弧東者実距在高弧西、白経在高弧西者実距在高弧東（若無設時対距弧角、即以設時白経高弧交角与九十度相減、余為設時対両心視相距角。実距在高弧之東西、与月在黄道南者相同、或白経高弧交角過九十度、則東西相反）。如両角相等而減尽無余、則両心実相距与高弧合、無交角（或無設時対距弧角、設時白経高弧交角適足九十度者、亦同）。亦無対設時両心実相距角、即以設時高下差与設時両心実相距相減、余為設時両心視相距（若白経高弧交角過九十度、緯南如緯北、緯北如緯南）」
月、黄道の北に在れば、設時白経高弧交角を以って設時対距弧角と相減じ、余り対両心視相距角と為す。対距弧角小なれば、則ち実距、高弧の東西に在る、白経と同じ。対距弧角大なれば、則ち白経、高弧の西に在れば、実距、高弧の東に在り、白経、高弧の東に在れば、実距、高弧の西に在り。月、黄道の南に在れば、設時白経高弧交角を以って設時対距弧角と相加へ、得る数、半周と相減じ、余り対両心視相距角と為す。白経、高弧の東に在れば、実距、高弧の西に在り、白経、高弧の西に在れば、実距、高弧の東に在り（もし設時対距弧角無ければ、即ち設時白経高弧交角を以って九十度と相減じ、余り設時対両心視相距角と為す。実距、高弧の東西に在るは、月の黄道の南に在る者と相同じ。或いは白経高弧交角九十度を過ぎ、則ち東西相反す）。もし両角相等しくして減じ尽して余り無ければ、則ち両心実相距と高弧合し、交角無し（或いは設時対距弧角無く、設時白経高弧交角適たま九十度に足れば、また同じ）。また対設時両心実相距角無ければ、即ち設時高下差を以って設時両心実相距と相減じ、余り設時両心視相距と為す（もし白経高弧交角、九十度を過ぐれば、緯南は緯北の如く、緯北は緯南の如し）。
求設時対両心実相距角「以設時両心実相距為一辺、設時高下差為一辺、設時対両心視相距角為所夾之角、用切線分外角法、求得半較角、与半外角相加減（設時両心実相距大於高下差則加、小於高下差則減）、得設時対両心実相距角」
設時両心実相距を以って一辺と為し、設時高下差、一辺と為し、設時対両心視相距角、夾むところの角と為し、切線分外角法を用ゐ、求めて得る半較角、半外角と相加減し（設時両心実相距、高下差より大なれば則ち加へ、高下差より小なれば則ち減ず）、設時対両心実相距角を得。
求設時両心視相距「以設時対両心実相距角之正弦為一率、設時両心実相距為二率、設時対両心視相距角之正弦為三率、求得四率為設時両心視相距」
設時対両心実相距角の正弦を以って一率と為し、設時両心実相距、二率と為し、設時対両心視相距角の正弦、三率と為し、求めて得る四率、設時両心視相距と為す。
\[ \begin{align}
\text{設時距分} &= \text{食甚設時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{設時}) &= \text{設時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{設時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧} \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{設時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{設時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{食甚設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{設時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{設時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{設時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{設時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{設時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{設時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{設時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{設時}) + \text{対距弧角}(@\text{設時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{設時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{設時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{設時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{設時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{設時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{設時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{設時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{設時})) \\
\end{align} \]

食甚設時における月の視差を計算し、対実相距角と視相距を得る。用時とほぼ同じような記載が繰り返されているだけ。

食甚用時において勝手に導入した「距弧」「対距弧角」。ここで暦法新書（寛政）の記載としても登場する。

「距弧」は、食甚用時の実月と、該当時刻の実月との間の距離。距時（食甚用時から該当時刻までの時刻差）に角速度（一小時両経斜距）をかけて求める。設時が用時より後の時刻であれば、距時・距弧は正、前の時刻であれば負となる。

そして、「対距弧角」は、北方を 0° として、太陽から見て該当時刻の実月がある方向を反時計回りに示したもの（\(\text{dir}(\overrightarrow{SM}) - \text{dir}(\vec{n})\)）である。これは、
\[ \text{対距弧角} = \tan^{-1} {\text{距弧} \over \text{食甚実緯}} \]
として求められる。

実相距の長さは、暦法新書（寛政）の記載「設時対距弧角の正弦を以って一率と為し、設時距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、設時両心実相距と為す」のとおり計算するのであれば、
\[ \text{両心実相距} = {\text{距弧} \over \sin(\text{対距弧角})} \]
であるが、これだと用時（距弧 = 対距弧角 = 0°）のときゼロ除算になってしまうので、
\[ \text{両心実相距} = \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{設時}))^2}\]
としておく。

視相距は、正弦定理を用いて、
\[ \text{両心視相距}(@\text{設時}) = {\text{両心実相距}(@\text{設時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{設時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{設時})) \]
として計算している。太陽 S, 実月 M, 視月 M' が三角形をなさず一直線上にならんでいるケースは、食甚用時においてはあらかじめ場合わけして排除されていたが、食甚設時において偶然そうなる場合は排除されておらず、その場合、対実相距角、対視相距角が 0° や 180° となり、ゼロ除算となってしまう。余弦定理を用いた式、
\[ \text{両心視相距}(@\text{設時}) = \sqrt{ \begin{aligned}
& (\text{両心実相距}(@\text{設時}))^2 + (\text{高下差}(@\text{設時}))^2 \\
& - 2 \times \text{両心実相距}(@\text{設時}) \times \text{高下差}(@\text{設時}) \times \cos(\text{対両心視相距角})
\end{aligned} } \]
などにリライトした方がいいかもしれない。……が、太陽 S, 実月 M, 視月 M' が偶然に厳密に一直線にならぶ確率は無限に小さいし、正直、本法の計算方法だと、この手のことを気にしだしたら切りがない。気にしない方がいいかも。

食甚真時

求設時白経高弧交角較「以設時白経高弧交角、与用時白経高弧交角相減（両交角、同過九十度或同不足九十度、則相減、一過九十度一不足九十度、則相加、与半周相減）、得設時白経高弧交角較」
設時白経高弧交角を以って用時白経高弧交角と相減じ（両交角、同じく九十度を過ぎ或いは同じく九十度に足らざれば、則ち相減じ、一は九十度を過ぎ一は九十度に足らざれば、則ち相加へ半周と相減ず）、設時白経高弧交角較を得。
求設時高弧交用時視距角「以設時白経高弧交角較、与用時対両心実相距角相加減（緯北為減、緯南為加）、得設時高弧交用時視距角（若無用時対両心実相距角、則設時白経高弧交角較即設時高弧交用時視距角。若白経高弧交角過九十度、緯北為加、緯南為減）」
設時白経高弧交角較を以って、用時対両心実相距角と相加減し（緯北は減と為し、緯南は加と為す）、設時高弧交用時視距角を得（もし用時対両心実相距角無ければ、則ち設時白経高弧交角較、即ち設時高弧交用時視距角。もし白経高弧交角、九十度を過ぐれば、緯北は加と為し、緯南は減と為す）
求対設時視行角「以設時高弧交用時視距角、与設時対両心実相距角相加減（両実距同在高弧東或同在高弧西者、則相減、一東一西者、則相加。若無食甚実緯者、用設両時白経高弧交角同過九十度或同不足九十度、則相減、一過九十度一不及九十度或用時白経高弧交角適足九十度、則相加）、得対設時視行角。加過半周者、与全周相減用其余（若相加適足一百八十度、則無対設時視行角、亦無対設時視距角及真時両心視相距、即以用時両心視相距与設時両心視相距相加、為設時視行。又以用時両心視相距為真時視行）。如無設時対両心実相距角、設時高下差大於設時両心実相距、則設時高弧交用時視距角即対設時視行角。設時高下差小於設時両心実相距、則設時高弧交用時視距角与半周相減、余為対設時視行角」
設時高弧交用時視距角を以って、設時対両心実相距角と相加減し（両実距、同じく高弧の東に在り或いは同じく高弧の西に在れば、則ち相減じ、一は東一は西なれば、則ち相加ふ。もし食甚実緯無ければ、用設両時の白経高弧交角、同じく九十度を過ぎ或いは同じく九十度に足らざれば、則ち相減じ、一は九十度を過ぎ一は九十度に及ばず、或いは、用時白経高弧交角適たま九十度に足れば、則ち相加ふ）、対設時視行角を得。加へて半周を過ぐれば、全周と相減じ其の余りを用う（もし相加へて適たま一百八十度に足れば、則ち対設時視行角無く、また対設時視距角、及び、真時両心視相距無く、即ち用時両心視相距を以って設時両心視相距と相加へ、設時視行と為す。又、用時両心視相距を以って真時視行と為す）。もし設時対両心実相距角無ければ、設時高下差、設時両心実相距より大なれば、則ち設時高弧交用時視距角、即ち対設時視行角。設時高下差、設時両心実相距より小なれば、則ち設時高弧交用時視距角、半周と相減じ、余り対設時視行角と為す。
求対設時視距角「以用時両心視相距為一辺、設時両心視相距為一辺、対設時視行角為所夾之角、用切線分外角法、求得半較角、与半外角相加減（設時両心視相距大於用時両心視相距、則加、小於用時両心視相距、則減）、得対設時視距角」
用時両心視相距を以って一辺と為し、設時両心視相距、一辺と為し、対設時視行角、夾むところの角と為し、切線分外角法を用ゐ、求めて得る半較角、半外角と相加減し（設時両心視相距、用時両心視相距より大なれば、則ち加へ、用時両心視相距より小なれば、則ち減ず）、対設時視距角を得。
求設時視行「以対設時視距角之正弦為一率、設時両心視相距為二率、対設時視行角之正弦為三率、求得四率為設時視行」
対設時視距角の正弦を以って一率と為し、設時両心視相距、二率と為し、対設時視行角の正弦、三率と為し、求めて得る四率、設時視行と為す。
求真時視行「以半径為一率、対設時視距角之余弦為二率、用時両心視相距為三率、求得四率為真時視行」
半径を以って一率と為し、対設時視距角の余弦、二率と為し、用時両心視相距、三率と為し、求めて得る四率、真時視行と為す。
求真時両心視相距「以半径為一率、対設時視距角之正弦為二率、用時両心視相距為三率、求得四率為真時両心視相距」
半径を以って一率と為し、対設時視距角の正弦、二率と為し、用時両心視相距、三率と為し、求めて得る四率、真時両心視相距と為す。
求真時距分「以設時視行為一率、設時距分為二率、真時視行為三率、求得四率為真時距分。白経在高弧西為加、在高弧東為減」
設時視行を以って一率と為し、設時距分、二率と為し、真時視行、三率と為し、求めて得る四率、真時距分と為す。白経、高弧の西に在るは加と為し、高弧の東に在るは減と為す。
求食甚真時「置食甚用時、加減真時距分、得食甚真時」
食甚用時を置き、真時距分を加減し、食甚真時を得。
\[ \begin{align}
\text{設時白経高弧交角較} &= \text{白経高弧交角}(@\text{設時}) - \text{白経高弧交角}(@\text{用時}) \\
\text{設時高弧交用時視距角} &=\text{対両心実相距角}(@\text{用時}) - \text{設時白経高弧交角較} \\
\text{対設時視行角} &= \text{設時高弧交用時視距角} - \text{対両心実相距角}(@\text{設時}) \\
\text{対設時視距角} &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{大辺} &= \text{両心視相距}(@\text{用時}) \\
\text{小辺} &= \text{両心視相距}(@\text{設時}) \\
\text{夾角} &= \text{対設時視行角}
\end{aligned} \right) \\
\text{設時視行} &= \text{両心視相距}(@\text{設時}) {\sin(\text{対設時視行角}) \over \sin(\text{対設時視距角})} \\
\text{真時視行} &= \text{両心視相距}(@\text{用時}) \cos(\text{対設時視距角}) \\
\text{真時両心視相距} &= \text{両心視相距}(@\text{用時}) |\sin(\text{対設時視距角})| \\
\text{真時距分} &= \text{設時距分} {\text{真時視行} \over \text{設時視行}} \\
\text{食甚真時} &= \text{食甚用時} + \text{真時距分}
\end{align} \]

用時の視月と設時の視月とを結ぶ直線に太陽から垂線を下ろし、垂線の足の位置から食甚真時を求める。このため、太陽・用時の視月・設時の視月を結ぶ三角形を考える。

用時の視月と設時の視月をひとつの図のなかにおさめるのだが、これを行うにあたり、カメラをどう動かしているのかを説明しよう。「斜距黄道交角」「一小時両経斜距」の計算をするとき、太陽の場所を動かさないよう、カメラをパンしながら撮影し、月の動きを見ているのだと説明した。さらに、北方（白道北極方向）を画面の上に保つ（白道を水平に保つ）ようにカメラを回転させながら撮影しているのだとする。用時と設時の北方（白道北極方向）は、画面上、同じ方向（画面上方）である。一方、用時と設時の上方（天頂方向）は、一般には一致しない。

ここで、太陽を \(\text{S}\), 用時の実月を \(\text{M}_1\), 用時の視月を \(\text{M}^\prime_1\), 設時の実月を \(\text{M}_2\), 設時の視月を \(\text{M}^\prime_2\) とする。そして、北方を向くベクトルを \(\vec{n}\), 用時の上方を向くベクトルを \(\vec{z_1}\). 設時の上方を向くベクトルを \(\vec{z_2}\) とする。

用時、設時の白経高弧交角、および、その差分である設時白経高弧交角較は、
\[ \begin{align}
\text{白経高弧交角}(@\text{用時}) &= \text{dir}(\vec{n}) - \text{dir}(\vec{z_1}) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{設時}) &= \text{dir}(\vec{n}) - \text{dir}(\vec{z_2}) \\
\text{設時白経高弧交角較} &= \text{白経高弧交角}(@\text{設時}) - \text{白経高弧交角}(@\text{用時}) \\
&= (\text{dir}(\vec{n}) - \text{dir}(\vec{z_2})) - (\text{dir}(\vec{n}) - \text{dir}(\vec{z_1})) \\
&= \text{dir}(\vec{z_1}) - \text{dir}(\vec{z_2})
\end{align} \]
となる。

そして、対実相距角は、\(\text{dir}(\overrightarrow{\text{M'M}}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M'S}})\) として定義し、また常に視差は下方に向かって生じるので実月は視月の上にあるから、\(\text{dir}(\overrightarrow{\text{M'M}}) = \text{dir}(\vec{z}) \) である。よって、用時の視相距（\(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}}\) の方向を 0° として反時計回りに設時の上方を測った角「設時高弧交用時視距角」は、
\[ \begin{align}
\text{設時高弧交用時視距角} &= \text{dir}(\vec{z}_2) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}}) \\
&= (\text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{M}_1}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}})) - (\text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{M}_1}) - \text{dir}(\vec{z}_2))\\
&= (\text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{M}_1}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}})) - (\text{dir}(\vec{z}_1) - \text{dir}(\vec{z}_2))\\
&= \text{対両心実相距角}(@\text{用時}) - \text{設時白経高弧交角較}
\end{align} \]
として算出することが出来る。そして、太陽から見て用時の視月がある方向を 0° とし、反時計回りに測った設時の視月がある方向「対設時視行角」は、
\[ \begin{align}
\text{対設時視行角} &= \text{dir}(\overrightarrow{\text{SM}^\prime_2}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{SM}^\prime_1}) \\
&= (\text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_2 \text{S}}) + 180°) - (\text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}}) + 180°) \\
&= \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_2 \text{S}}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}}) \\
&= (\text{dir}(\vec{z_2}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}})) - (\text{dir}(\vec{z_2}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_2 \text{S}})) \\
&= (\text{dir}(\vec{z_2}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_1 \text{S}})) - (\text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_2 \text{M}_2}) - \text{dir}(\overrightarrow{\text{M}^\prime_2 \text{S}})) \\
&= \text{設時高弧交用時視距角} - \text{対実相距角}(@\text{設時})
\end{align} \]
として求められる。

太陽 \(\text{S}\), 用時の視月 \(\text{M}^\prime_1\), 設時の視月 \(\text{SM}^\prime_2\) を結ぶ三角形について、辺\(\text{SM}^\prime_1\) の長さは視相距(@用時) 、辺\(\text{SM}^\prime_2\) の長さは視相距(@設時) として視差計算のなかで算出済。いま、その二辺の挟角 \(\angle \text{M}^\prime_1 \text{SM}^\prime_2\) が、「対設時視行角」として算出できたことになる。

対設時視距角 \(\angle \text{M}^\prime_2 \text{M}^\prime_1 \text{S} \) は、切線分外角法を用いて得ることが出来る。

そして、正弦定理、
\[ {\text{設時視行} \over \sin(\text{対設時視行角})} = {\text{視相距}(@\text{設時}) \over \sin(\text{対設時視距角})} \]
により、用時視月 \(\text{M}^\prime_1\) と設時視月 \(\text{M}^\prime_2\) との距離「設時視行」を得ることが出来る。\(\text{S}\),  \(\text{M}^\prime_1\),  \(\text{M}^\prime_2\) が一直線に並び、三角形をなさないケースを考えると、正弦定理ではなく、余弦定理を用いた式にリライトした方がいいかもしれないが、きりがないので割愛。

太陽 S から、\(\text{M}^\prime_1 \text{M}^\prime_2 \) に対して降ろした垂線の足を真時の仮視月 \(\text{M}^{\prime\prime}_3\) としよう。「仮視月」とここで呼んだのは、真時の本当の視月の位置は、真時の視差計算をしてみないとわからないからである。

真時視行 \(\text{M}^\prime_1 \text{M}^{\prime\prime}_3\) と、真時両心視相距 \(\text{SM}^{\prime\prime}_3\) は、
\[ \begin{align}
\text{真時視行} &= \text{両心視相距}(@\text{用時}) \cos(\text{対設時視距角}) \\
\text{真時両心視相距} &= \text{両心視相距}(@\text{用時}) |\sin(\text{対設時視距角})|
\end{align} \]
として求められる。\(\sin(\text{対設時視距角})\) の絶対値を取っているのは、太陽 \(\text{S}\), 用時の視月 \(\text{M}^\prime_1\), 設時の視月 \(\text{SM}^\prime_2\) が時計回りに配置されるような三角形の場合、対設時視距角は負の値として算出されるが、辺の長さである「真時両心視相距」は正の値として算出したいので、そうしている。

用時～設時の視月が直線的に動くものとして近似すると、真時は、設時距時（用時～設時の時刻差）を設時視行と真時視行の長さで案分すれば求めることが出来る。

食甚真時の視差計算

推食甚考定真時及食分第七
求真時距弧「以一小時分為一率、一小時両経斜距為二率、真時距分為三率、求得四率為真時距弧」
一小時分を以って一率と為し、一小時両経斜距、二率と為し、真時距分、三率と為し、求めて得る四率、真時距弧と為す。
求真時対距弧角「以食甚実緯為一率、真時距弧為二率、半径為三率、求得四率為対距弧角之正切線、検表得真時対距弧角（若無食甚実緯、則無真時対距弧角、即以真時距弧為真時両心実相距」
食甚実緯を以って一率と為し、真時距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、対距弧角の正切線と為し、表を検じ真時対距弧角を得（もし食甚実緯無ければ、則ち真時対距弧角無く、即ち真時距弧を以って真時両心実相距と為す）。
求真時両心実相距「以真時対距弧角之正弦為一率、真時距弧為二率、半径為三率、求得四率為真時両心実相距」
真時対距弧角の正弦を以って一率と為し、真時距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、真時両心実相距と為す。
求真時太陽距午赤道度「以食甚真時与半日周相減、余数変赤道度、得真時太陽距午赤道度」
食甚真時を以って半日周と相減じ、余数、赤道度に変じ、真時太陽距午赤道度を得。
求真時赤経高弧交角「以北極距天頂為一辺、太陽距北極為一辺、真時太陽距午赤道度為所夾之角、用斜弧三角形法、求得対北極距天頂之角、為真時赤経高弧交角（法与求用時赤経高弧交角同）」
北極距天頂を以って一辺と為し（北極高度と九十度と相減じ、余り即ち北極距天頂）、太陽距北極、一辺と為し、真時太陽距午赤道度、夾むところの角と為し、斜弧三角形法を用ゐ、求めて得る対北極距天頂の角、真時赤経高弧交角と為す（法、求用時赤経高弧交角と同じ）。
求真時太陽距天頂「以真時赤経高弧交角之正弦為一率、北極距天頂之正弦為二率、真時太陽距午赤道度之正弦為三率、求得四率為太陽距天頂之正弦、検表得真時太陽距天頂」
真時赤経高弧交角の正弦を以って一率と為し、北極距天頂の正弦、二率と為し、真時太陽距午赤道度の正弦、三率と為し、求めて得る四率、太陽距天頂の正弦と為し、表を検じ真時太陽距天頂を得。
求真時高下差「以半径為一率、地平高下差為二率、真時太陽距天頂之正弦為三率、求得四率為真時高下差」
半径を以って一率と為し、地平高下差、二率と為し、真時太陽距天頂の正弦、三率と為し、求めて得る四率、真時高下差と為す。
求真時白経高弧交角「以真時赤経高弧交角与赤白二経交角相加減、得真時白経高弧交角（法与求用時白経高弧交角同）」
真時赤経高弧交角と赤白二経交角を以って相加減し真時白経高弧交角を得（法、求用時白経高弧交角と同じ）。
求真時対両心視相距角「以真時白経高弧交角与真時対距弧角相加減、得真時両心視相距角（法与求設時対両心視相距角同）」
真時白経高弧交角を以って真時対距弧角と相加減し、真時両心視相距角を得（法、求設時対両心視相距角と同じ）。
求真時対両心実相距角「以真時両心実相距為一辺、真時高下差為一辺、真時対両心視相距角為所夾之角、用切線分外角法、求得半較角、与半外角相加減（真時両心実相距大於高下差則加、小於高下差則減）、得真時対両心実相距角」
真時両心実相距を以って一辺と為し、真時高下差、一辺と為し、真時対両心視相距角、夾むところの角と為し、切線分外角法を用ゐ、求めて得る半較角、半外角と相加減し（真時両心実相距、高下差より大なれば則ち加へ、高下差より小なれば則ち減ず）、真時対両心実相距角を得。
求考真時両心視相距「以真時対両心実相距角之正弦為一率、真時両心実相距為二率、真時対両心視相距角之正弦為三率、求得四率為考真時両心視相距」
真時対両心実相距角の正弦を以って一率と為し、真時両心実相距、二率と為し、真時対両心視相距角の正弦、三率と為し、求めて得る四率、考真時両心視相距と為す。
\[ \begin{align}
\text{距弧}(@\text{真時}) &= \text{真時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{真時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{真時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{真時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{真時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{真時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{食甚設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{真時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{真時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{真時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{真時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{真時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{真時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{真時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{真時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{真時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{真時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{真時}) + \text{対距弧角}(@\text{真時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{真時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{真時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{真時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{真時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{真時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{真時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{真時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{真時})) \\
\end{align} \]

用時・設時のときとまったく同様に真時の視差計算を行う。

両心視相距(@真時) のことを、「真時両心視相距」ではなく「考真時両心視相距」と呼んでいる。これは、「真時両心視相距」は、太陽 S と真時の仮視月 \(\text{M}^{\prime\prime}_3\) との間の距離を意味する言葉として既に使われてしまっているからである。

食甚定真時

求真時白経高弧交角較「以真時白経高弧交角、与設時白経高弧交角相減、得真時白経高弧交角較（法与求設時白経高弧交角較同）」
真時白経高弧交角を以って設時白経高弧交角と相減じ、真時白経高弧交角較を得（法、求設時白経高弧交角較と同じ）。
求真時高弧交設時視距角「以真時白経高弧交角較、与設時対両心実相距角相加減（月在黄道北、白経在高弧東、設時・真時両実距同在高弧西、或白経在高弧西、両実距同在高弧東、設時白経高弧交角小則加、大則減。若白経在高弧東、両実距亦同在高弧東、或白経在高弧西、両実距亦同在高弧西、設時交角小則減、大則加。若両実距一在高弧東一在高弧西、則皆相減。月在黄道南、設時交角小則加、大則減。或無食甚実緯者亦同）、得真時高弧交設時視距角。如無設時対両心実相距角、設時高下差大於設時両心実相距、則真時白経高弧交角較即真時高弧交設時視距角。設時高下差小於設時両心実相距、則以真時白経高弧交角較与半周相減、余為真時高弧交設時視距角（若白経高弧交角過九十度、則緯南如緯北、緯北如緯南）」
真時白経高弧交角較を以って、設時対両心実相距角と相加減し（月、黄道の北に在れば、白経高弧の東に在り、設時・真時両実距同じく高弧の西に在り、或いは、白経高弧の西に在り、両実距同じく高弧の東に在れば、設時白経高弧交角小は則ち加へ、大は則ち減ず。もし白経高弧の東に在り、両実距また同じく高弧の東に在り、或いは、白経高弧の西に在り、両実距また同じく高弧の西に在れば、設時交角小は則ち減じ、大は則ち加ふ。もし両実距一は高弧の東に在り一は高弧の西に在れば、則ち皆相減ず。月黄道の南に在れば、設時交角小は則ち加へ、大は則ち減ず。或いは食甚実緯無ければまた同じ）、真時高弧交設時視距角を得。もし設時対両心実相距角無ければ、設時高下差、設時両心実相距より大なれば、則ち真時白経高弧交角較、即ち真時高弧交設時視距角。設時高下差、設時両心実相距より小なれば、則ち真時白経高弧交角較を以って半周と相減じ、余り真時高弧交設時視距角と為す（もし白経高弧交角、九十度を過ぐれば、則ち緯南は緯北の如く、緯北は緯南の如し）。
求対考真時視行角「以真時高弧交設時視距角、与真時対両心実相距角相加減（両実距同在高弧東或同在高弧西者、則相減、一東一西者、則相加。如設時実距与高弧合無東西者、白経在高弧東、真時実距在高弧西、則相減、在高弧東則相加。白経在高弧西、真時実距在高弧西、則相加、在高弧東則相減）、得対考真時視行角（若相加適足一百八十度、則無対考真時視行角、亦無対考真時視距角及定真時両心視相距、即以設時両心視相距与考真時両心視相距相加、為考真時視行。又以設時両心視相距為定真時視行）。加過半周者、与全周相減、用其余（如真時白経高弧交角較与設時対両心実相距角相等而減尽無余、則真時対両心実相距角、即対考真時視行角。如真時白経高弧交角較与設時対両心実相距角相加、適足一百八十度、則真時対両心実相距角与半周相減、即対考真時視行角」
真時高弧交設時視距角を以って、真時対両心実相距角と相加減し（両実距同じく高弧の東に在り或いは同じく高弧の西に在れば、則ち相減じ、一は東に一は西なれば、則ち相加ふ。もし設時実距と高弧と合し東西無ければ、白経は高弧の東に在り、真時実距は高弧の西に在れば、則ち相減じ、高弧の東に在れば則ち相加ふ。白経高弧の西に在り、真時実距高弧の西に在れば、則ち相加へ、高弧の東に在れば則ち相減ず）、対考真時視行角を得（もし相加へて適たま一百八十度に足れば、則ち対考真時視行角無く、また対考真時視距角及び定真時両心視相距無く、即ち設時両心視相距を以って考真時両心視相距と相加へ、考真時視行と為す。又、設時両心視相距を以って定真時視行と為す）。加へて半周を過ぐれば、全周と相減じ、其の余りを用う（もし真時白経高弧交角較と設時対両心実相距角相等しくして減じ尽し余り無ければ、則ち真時対両心実相距角、即ち対考真時視行角。もし真時白経高弧交角較と設時対両心実相距角相加へて、適たま一百八十度に足れば、則ち真時対両心実相距角と半周相減じ、即ち対考真時視行角。
求対考真時視距角「以設時両心視相距為一辺、考真時両心視相距為一辺、対考真時視行角為所夾之角、用切線分外角法、求得半較角、与半外角相減（考真時両心視相距必小於設時両心視相距故減）、得対考真時視距角」
設時両心視相距を以って一辺と為し、考真時両心視相距、一辺と為し、対考真時視行角、夾むところの角と為し、切線分外角法を用ゐ、求めて得る半較角、半外角と相減し（考真時両心視相距、必ず設時両心視相距より小なるが故、減ず）、対考真時視距角を得。
求考真時視行「以対考真時視距角之正弦為一率、考真時両心視相距為二率、対考真時視行角之正弦為三率、求得四率為考真時視行」
対考真時視距角の正弦を以って一率と為し、考真時両心視相距、二率と為し、対考真時視行角の正弦、三率と為し、求めて得る四率、考真時視行と為す。
求定真時視行「以半径為一率、対考真時視距角之余弦為二率、設時両心視相距為三率、求得四率為定真時視行」
半径を以って一率と為し、対考真時視距角の余弦、二率と為し、設時両心視相距、三率と為し、求めて得る四率、定真時視行と為す。
求定真時両心視相距「以半径為一率、対考真時視距角之正弦為二率、設時両心視相距為三率、求得四率為定真時両心視相距」
半径を以って一率と為し、対考真時視距角の正弦、二率と為し、設時両心視相距、三率と為し、求めて得る四率、定真時両心視相距と為す。
求定真時距分「以考真時視行為一率、設時距分与真時距分相減、余為二率、定真時視行為三率、求得四率為定真時距分。白経在高弧東、設時距分小為減、大為加。白経在高弧西、設時距分小為加、大為減」
考真時視行を以って一率と為し、設時距分と真時距分相減じ、余り二率と為し、定真時視行、三率と為し、求めて得る四率、定真時距分と為す。白経高弧の東に在れば、設時距分小は減と為し、大は加と為す。白経高弧の西に在れば、設時距分小は加と為し、大は減と為す。
求食甚定真時「置食甚設時、加減定真時距分、得食甚定真時」
食甚設時を置き、定真時距分を加減し、食甚定真時を得。
\[ \begin{align}
\text{真時白経高弧交角較} &= \text{白経高弧交角}(@\text{真時}) - \text{白経高弧交角}(@\text{設時}) \\
\text{真時高弧交設時視距角} &=\text{対両心実相距角}(@\text{設時}) - \text{真時白経高弧交角較} \\
\text{対考真時視行角} &= \text{真時高弧交設時視距角} - \text{対両心実相距角}(@\text{真時}) \\
\text{対考真時視距角} &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{大辺} &= \text{両心視相距}(@\text{設時}) \\
\text{小辺} &= \text{両心視相距}(@\text{真時}) \\
\text{夾角} &= \text{対考真時視行角}
\end{aligned} \right) \\
\text{考真時視行} &= \text{両心視相距}(@\text{真時}) {\sin(\text{対考真時視行角}) \over \sin(\text{対考真時視距角})} \\
\text{定真時視行} &= \text{両心視相距}(@\text{設時}) \cos(\text{対考真時視距角}) \\
\text{定真時両心視相距} &= \text{両心視相距}(@\text{設時}) |\sin(\text{対考真時視距角})| \\
\text{定真時距分} &= (\text{真時距分} - \text{設時距分}) {\text{定真時視行} \over \text{考真時視行}} \\
\text{食甚定真時} &= \text{食甚設時} + \text{定真時距分}
\end{align} \]

用時と設時との間に真時を置いたのと同様の計算を行って、設時と真時との間に定真時を置く。先ほど、両心視相距(@真時) のことを、「考真時両心視相距」と呼んだのに伴って「考真時」という言葉が使われているものがあるが、意味合いとしては「真時」である。

定真時における視相距は、定真時における視差計算を再度行って求めるようなことはしない。太陽と仮視月との間の距離「定真時両心視相距」をそのまま使う。

食甚食分

求食分「以太陽実半径倍之、得太陽全径為一率、十分為二率、併径内減定真時両心視相距、余為三率、求得四率為食分」
太陽実半径を以ってこれを倍し、得る太陽全径、一率と為し、十分、二率と為し、併径、定真時両心視相距を内減し、余り三率と為し、求めて得る四率、食分と為す。
\[ \begin{align}
\text{食分} &= {\text{併径} - \text{定真時両心視相距} \over 2 \times \text{太陽実半径}} \times 10_\text{分}
\end{align} \]

例によって、併径（太陽半径と月半径の和）から太陽と月との距離（定真時両心視相距）を引き、太陽直径との比をとれば、食分を求めることが出来る。

以上で、寛政暦日食法の食甚計算のふた通りの方法のうちのひとつ、「本法」の説明を終える。次回は、初虧（かけはじめ）・復円（かけおわり）の算出について。

[江戸頒暦の研究 総目次へ]

[参考文献]

吉田 秀升, 山路 徳風, 高橋 至時, (校正) 土御門 泰栄「暦法新書」（寛政） 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵 

渋川 景佑「寛政暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵