前回は、初虧復円時刻の算出において「又法」による算出の説明を行った。今回は、「本法」における算出を説明する。私が実装にあたって採用したのは「又法」なので、「本法」のほうはデバッグが不十分かも知れないが、ご容赦いただきたい。
初虧復円の本法では、
- 「初虧前設時」を求め、その時刻における視差計算を行い、視相距を得る。
- 「初虧後設時」を求め、その時刻における視差計算を行い、視相距を得る。
- 初虧前設時・初虧後設時の時刻と視相距から、視相距は時刻に対し線形に変化するものとして、視相距が併径となる時刻、「初虧真時」を求める。また、 その時刻における視差計算を行い、視相距を得る。
- 初虧前設時・初虧後設時のうち、どちらか視相距が併径に近いほうと、初虧真時との間で、同様に線形補間し、視相距が併径となる時刻、「初虧定真時」を求める。
という手順からなる。初虧復円又法において、用時→近時→真時→定真時と漸近していったのと基本的に同様で、前設時→後設時→真時→定真時と漸近していくわけである。上には初虧の場合を記述したが、復円についてもまったく同じ流れになる。
しかし、食甚本法のとき食甚設時の時刻がざっくりとしか定義されていなかったように、前設時・後設時の時刻がざっくりとしか定義されておらず、ちょっと扱いづらい。以下は、「こんな感じで算出すればいいのではないか」という私案で記載している部分がある。
初虧前設時
暦法新書（寛政）巻四 推日食法
推初虧前設時両心視相距第八
求初虧復円前設時「白経在高弧西、食甚用時両心視相距与併径相去不遠、即以食甚用時為初虧前設時。小則向前取、大則向後取、量距食甚用時前後若干分、為初虧前設時。与食甚定真時相減、余数与食甚定真時相加、為復円前設時。白経高弧東、食甚用時両心視相距与併径相去不遠、即以食甚用時為復円前設時。小則向後取、大則向前取、量距食甚用時前後若干分、為復円前設時。以食甚定真時与之相減、余数又与食甚定真時相減、為初虧前設時」
白経、高弧の西に在れば、食甚用時両心視相距と併径と相去き遠からざれば、即ち食甚用時を以って初虧前設時と為す。小なれば則ち前に向かって取り、大なれば則ち後に向かって取り、食甚用時を距つる前後若干分を量り、初虧前設時と為す。食甚定真時と相減じ、余数と食甚定真時と相加へ、復円前設時と為す。白経、高弧の東に在れば、食甚用時両心視相距と併径と相去き遠からざれば、即ち食甚用時を以って復円前設時と為す。小なれば則ち後に向かって取り、大なれば則ち前に向かって取り、食甚用時を距つる前後若干分を量り、復円前設時と為す。食甚定真時を以ってこれと相減じ、余数、又、食甚定真時と相減じ、初虧前設時と為す。
\[ \begin{align}
\text{初虧復円平距} &= \sqrt{(\text{併径})^2 - (\text{食甚定真時両心視相距})^2} \\
\text{初虧復円用時距分} &= \text{初虧復円平距弧} \times {\text{食甚定真時距分} \over \text{食甚定真時視行}} \\
\text{初虧前設時} &= \text{食甚定真時} - \text{初虧復円用時距分} \\
\text{復円前設時} &= \text{食甚定真時} + \text{初虧復円用時距分} \\
\end{align} \]
初虧前設時の時刻の算出。
「白経が高弧の西」（つまり、白経高弧交角が第3, 4象限。おそらく、食甚用時は食甚定真時より前の時刻となるはず）のとき、食甚用時の視相距がちょうど併径なら食甚用時を初虧前設時とし、食甚用時の視相距が併径より小さければ、食甚用時は初虧時刻としては遅すぎるので、多少前に時刻をとり、大きければ多少後に時刻をとる。
「白経が高弧の東」（つまり、白経高弧交角が第1, 2象限。おそらく、食甚用時は食甚定真時より後の時刻となるはず）のとき、食甚用時の視相距がちょうど併径なら食甚用時を復円前設時とし、食甚用時の視相距が併径より小さければ、食甚用時は初虧時刻としては早すぎるので、多少後に時刻をとり、大きければ多少前に時刻をとる。
上記で「初虧前設時」または「復円前設時」のどちらか片方が求められたが、もう片方は、食甚定真時の反対側の時刻をとる。
以上が、条文に記載されていることだが、「多少前後に」がどれだけの量をとればいいのかよくわからない。とりあえず、又法における初虧用時と同じ算出方法をとっておこう。
初虧前設時の視差計算
求初虧前設時距分「……(略)……」
求初虧前設時距弧「……(略)……」
求初虧前設時対距弧角「……(略)……」
求初虧前設時両心実相距「……(略)……」
求初虧前設時太陽距午赤道度「……(略)……」
求初虧前設時赤経高弧交角「……(略)……」
求初虧前設時太陽距天頂「……(略)……」
求初虧前設時高下差「……(略)……」
求初虧前設時白経高弧交角「……(略)……」
求初虧前設時対両心視相距角「……(略)……」
求初虧前設時対両心実相距角「……(略)……」
求初虧前設時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{初虧前設時距分} &= \text{初虧前設時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{初虧前設時}) &= \text{初虧前設時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{初虧前設時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{初虧前設時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{初虧前設時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{初虧前設時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧前設時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧前設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧前設時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧前設時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧前設時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧前設時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧前設時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{初虧前設時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧前設時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧前設時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧前設時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{初虧前設時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{初虧前設時}) + \text{対距弧角}(@\text{初虧前設時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{初虧前設時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{初虧前設時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{初虧前設時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{初虧前設時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{初虧前設時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{初虧前設時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{初虧前設時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{初虧前設時})) \\
\end{align} \]
初虧前設時における視差計算を行う。食甚本法におけるものと特段変わるところはないので、説明は省略する。
初虧後設時と初虧後設時の視差計算
求初虧後設時両心視相距第九
求初虧後設時「初虧前設時両心視相距、小於併径則向前取、大於併径則向後取、察其較之多寡量、取前後若干分、為初虧後設時。以下倶用初虧後設時之数逐條推算法、与初虧前設時同」
初虧前設時両心視相距、併径より小なれば則ち前に向かって取り、併径より大なれば則ち後に向かって取り、其の較の多寡量を察し、前後若干分を取り、初虧後設時と為す。以下、倶に用うる初虧後設時の数の逐條推算法、初虧前設時と同じ。
\[ \begin{align}
\text{距分} &= (\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧前設時})) \times { \text{食甚定真時} - \text{初虧前設時} \over 0 - \text{視相距}(@\text{初虧前設時})} \\
\text{初虧後設時} &= \text{初虧前設時} + \text{距分}
\end{align} \]
初虧後設時についても、初虧前設時における視相距が併径より大きいか小さいかによって、前後に「若干分」をとれとしていて、時刻の算出方法がよくわからない。これも、又法における「初虧近時」の算出方法と同様に計算しておく。
また、暦法新書（寛政）においても、「逐條推算法、初虧前設時と同じ」としていて、いちいち計算方法の記載がばっさり省略されているが、初虧後設時における視差計算を行う。
\[ \begin{align}
\text{初虧後設時距分} &= \text{初虧後設時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{初虧後設時}) &= \text{初虧後設時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{初虧後設時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{初虧後設時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{初虧後設時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{初虧後設時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧後設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧後設時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{初虧後設時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧後設時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{初虧後設時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) + \text{対距弧角}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{初虧後設時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{初虧後設時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{初虧後設時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{初虧後設時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{初虧後設時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{初虧後設時})) \\
\end{align} \]
食甚本法や、初虧前設時におけるものと同様に計算すればよい。
初虧真時と初虧真時の視差計算、初虧定真時
推初虧考定真時第十
求初虧視距較「以初虧前設時両心視相距与初虧後設時両心視相距相減、得初虧視距較」
初虧前設時両心視相距を以って初虧後設時両心視相距と相減じ、初虧視距較を得。
求初虧設時較「以初虧前設時距分与初虧後設時距分相減、得初虧設時較」
初虧前設時距分を以って初虧後設時距分と相減じ、初虧設時較を得。
求初虧視距併径較「以初虧後設時両心視相距与併径相減、得初虧視距併径較」
初虧後設時両心視相距を以って併径と相減じ、初虧視距併径較を得。
求初虧真時距分「以初虧視距較為一率、初虧設時較為二率、初虧視距併径較為三率、求得四率為初虧真時距分。初虧後設時両心視相距大於併径為加。小於併径為減」
初虧視距較を以って一率と為し、初虧設時較、二率と為し、初虧視距併径較、三率と為し、求めて得る四率、初虧真時距分と為す。初虧後設時両心視相距、併径より大なれば加と為し、併径より小なれば減と為す。
求初虧真時「置初虧後設時、加減初虧真時距分、得初虧真時。乃以初虧真時、依前法求其両心視相距、果与併径等、則初虧真時即初虧定真時。初虧真時対両心実相距角即初虧方位角。如或大或小、則以初虧前後設時両心視相距与併径尤近者、与考真時両心視相距相較、依法比例、得初虧定真時」
初虧後設時を置き、初虧真時距分を加減し、初虧真時を得。すなはち初虧真時を以って、前法に依り其の両心視相距を求め、果して併径と等しければ、則ち初虧真時即ち初虧定真時。初虧真時対両心実相距角即ち初虧方位角。もし或いは大或いは小なれば、則ち初虧前後設時両心視相距を以って併径ともっとも近き者、考真時両心視相距と相較べ、法に依り比例し、初虧定真時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧視距較} &= \text{視相距}(@\text{初虧後設時}) - \text{視相距}(@\text{初虧前設時}) \\
\text{初虧設時較} &= \text{初虧後設時距分} - \text{初虧前設時距分} \\
\text{初虧視距併径較} &= \text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{初虧真時距分} &= \text{初虧視距併径較} \dfrac{\text{初虧設時較}}{\text{初虧視距較}} \\
\text{初虧真時} &= \text{初虧後設時} + \text{初虧真時距分}
\end{align} \]
初虧前設時と初虧後設時の間で、視相距が線形に変化するものとして一次補間し、視相距が併径となる時刻「初虧真時」を得る。
そして、同様に初虧真時における視差計算を行う。
\[ \begin{align}
\text{初虧真時距分} &= \text{初虧真時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{初虧真時}) &= \text{初虧真時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{初虧真時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{初虧真時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{初虧真時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{初虧真時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧真時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧真時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧真時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{初虧真時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧真時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧真時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧真時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{初虧真時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{初虧真時}) + \text{対距弧角}(@\text{初虧真時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{初虧真時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{初虧真時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{初虧真時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{初虧真時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{初虧真時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{初虧真時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{初虧真時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{初虧真時})) \\
\end{align} \]
視差計算をした結果、初虧真時に視相距がちょうど併径になるようなら、ここで計算を打ち切り、初虧真時をもって初虧定真時とする。
おそらく、一般にはそうはならないと思われるので、さらに、前設時・後設時のうち視相距が併径に近いほうと、真時との間で、さきほど、前設時と後設時との間で行ったような一次補間を行い、初虧定真時とする。
\[ \begin{align}
\text{視距較} &= \text{視相距}(@\text{初虧真時}) - \text{視相距}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{時較} &= \text{初虧真時距分} - \text{初虧後設時距分} \\
\text{視距併径較} &= \text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧真時}) \\
\text{初虧定真時距分} &= \text{視距併径較} \dfrac{\text{時較}}{\text{視距較}} \\
\text{初虧定真時} &= \text{初虧真時} + \text{初虧定真時距分}
\end{align} \]
「前設時・後設時のうち視相距が併径に近いほう」がどちらかは、前設時・後設時の置き方によるだろうが、当ブログでは、食甚又法における用時・近時と同様の算出方法としたので、その場合、後設時のほうが併径により近似しているだろうから、後設時と真時との間で一次補間するものとして決め打ちし、上記の式は記述した。
以降は、復円についての計算だが、初虧のときとまったく同様である。
復円前設時の視差計算
推復円前設時両心視相距第十一
求復円前設時距分「……(略)……」
求復円前設時距弧「……(略)……」
求復円前設時対距弧角「……(略)……」
求復円前設時両心実相距「……(略)……」
求復円前設時太陽距午赤道度「……(略)……」
求復円前設時赤経高弧交角「……(略)……」
求復円前設時太陽距天頂「……(略)……」
求復円前設時高下差「……(略)……」
求復円前設時白経高弧交角「……(略)……」
求復円前設時対両心視相距角「……(略)……」
求復円前設時対両心実相距角「……(略)……」
求復円前設時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{復円前設時距分} &= \text{復円前設時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{復円前設時}) &= \text{復円前設時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{復円前設時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{復円前設時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{復円前設時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{復円前設時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円前設時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{復円前設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円前設時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円前設時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{復円前設時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{復円前設時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円前設時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{復円前設時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{復円前設時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{復円前設時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{復円前設時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{復円前設時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{復円前設時}) + \text{対距弧角}(@\text{復円前設時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{復円前設時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{復円前設時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{復円前設時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{復円前設時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{復円前設時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{復円前設時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{復円前設時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{復円前設時})) \\
\end{align} \]
復円後設時と復後設時の視差計算
求復円後設時両心視相距第十二
求復円後設時「復円前設時両心視相距、小於併径則向後取、大於併径則向前取、察其較之多寡量、取前後若干分、為復円後設時。以下倶用復円後設時之数逐條推算法、与復円前設時同」
復円前設時両心視相距、併径より小なれば則ち後に向かって取り、併径より大なれば則ち前に向かって取り、其の較の多寡量を察し、前後若干分を取り、復円後設時と為す。以下、倶に用うる復円後設時の数の逐條推算法、復円前設時と同じ。
\[ \begin{align}
\text{距分} &= (\text{併径} - \text{視相距}(@\text{復円前設時})) \times { \text{食甚定真時} - \text{復円前設時} \over 0 - \text{視相距}(@\text{復円前設時})} \\
\text{復円後設時} &= \text{復円前設時} + \text{距分}
\end{align} \]
\[ \begin{align}
\text{初虧後設時距分} &= \text{初虧後設時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{初虧後設時}) &= \text{初虧後設時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{初虧後設時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{初虧後設時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{初虧後設時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{初虧後設時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧後設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧後設時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧後設時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{初虧後設時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧後設時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{初虧後設時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{初虧後設時}) + \text{対距弧角}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{初虧後設時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{初虧後設時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{初虧後設時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{初虧後設時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{初虧後設時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{初虧後設時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{初虧後設時})) \\
\end{align} \]
復円真時と復円真時の視差計算、復円定真時
推復円考定真時第十三
求復円視距較「以復円前設時両心視相距与復円後設時両心視相距相減、得復円視距較」
復円前設時両心視相距を以って復円後設時両心視相距と相減じ、復円視距較を得。
求復円設時較「以復円前設時距分与復円後設時距分相減、得復円設時較」
復円前設時距分を以って復円後設時距分と相減じ、復円設時較を得。
求復円視距併径較「以復円後設時両心視相距与併径相減、得復円視距併径較」
復円後設時両心視相距を以って併径と相減じ、復円視距併径較を得。
求復円真時距分「以復円視距較為一率、復円設時較為二率、復円視距併径較為三率、求得四率為復円真時距分。復円後設時両心視相距小於併径為加。大於併径為減」
復円視距較を以って一率と為し、復円設時較、二率と為し、復円視距併径較、三率と為し、求めて得る四率、復円真時距分と為す。復円後設時両心視相距、併径より小なれば加と為し。併径より大なれば減と為す。
求復円真時「置復円後設時、加減復円真時距分、得復円真時。乃以復円真時、依前法求其両心視相距、果与併径等、則復円真時即復円定真時。復円真時対両心実相距角即復円方位角。如或大或小、則以復円前後設時両心視相距与併径尤近者、与考真時両心視相距相較、依法比例、得復円定真時」
復円後設時を置き、復円真時距分を加減し、復円真時を得。すなはち復円真時を以って、前法に依り其の両心視相距を求め、果して併径と等しければ、則ち復円真時即ち復円定真時。復円真時対両心実相距角即ち復円方位角。もし或いは大或いは小なれば、則ち復円前後設時両心視相距を以って併径ともっとも近き者、考真時両心視相距と相較べ、法に依り比例し、復円定真時を得。
\[ \begin{align}
\text{復円視距較} &= \text{視相距}(@\text{復円後設時}) - \text{視相距}(@\text{復円前設時}) \\
\text{復円設時較} &= \text{復円後設時距分} - \text{復円前設時距分} \\
\text{復円視距併径較} &= \text{併径} - \text{視相距}(@\text{復円後設時}) \\
\text{復円真時距分} &= \text{復円視距併径較} \dfrac{\text{復円設時較}}{\text{復円視距較}} \\
\text{復円真時} &= \text{復円後設時} + \text{復円真時距分}
\end{align} \]
\[ \begin{align}
\text{復円真時距分} &= \text{復円真時} - \text{食甚用時} \\
\text{距弧}(@\text{復円真時}) &= \text{復円真時距分} \times \text{一小時両経斜距} \div ({1/24}_\text{日}) \\
\text{対距弧角}(@\text{復円真時}) &= \tan^{-1} {\text{距弧}(@\text{復円真時}) \over \text{食甚実緯}} \\
\text{両心実相距}(@\text{復円真時}) &= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{距弧}(@\text{復円真時}))^2} \\
\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{復円真時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{復円真時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{復円真時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{高下差}(@\text{復円真時}) &= \text{太陰地半径差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{復円真時})) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{復円真時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{復円真時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{対両心視相距角}(@\text{復円真時}) &= \text{白経高弧交角}(@\text{復円真時}) + \text{対距弧角}(@\text{復円真時}) \\
\text{対両心実相距角}(@\text{復円真時}) &= \text{切線分外角法} \left( \begin{aligned}
\text{小辺} &= \text{両心実相距}(@\text{復円真時}) \\
\text{大辺} &= \text{高下差}(@\text{復円真時}) \\
\text{夾角} &= \text{対両心視相距角}(@\text{復円真時}) \\
\end{aligned} \right) \\
\text{両心視相距}(@\text{復円真時}) &= {\text{両心実相距}(@\text{復円真時}) \over \sin(\text{対両心実相距角}(@\text{復円真時}))} \times \sin(\text{対両心視相距角}(@\text{復円真時})) \\
\end{align} \]
\[ \begin{align}
\text{視距較} &= \text{視相距}(@\text{復円真時}) - \text{視相距}(@\text{復円後設時}) \\
\text{時較} &= \text{復円真時距分} - \text{復円後設時距分} \\
\text{視距併径較} &= \text{併径} - \text{視相距}(@\text{復円真時}) \\
\text{復円定真時距分} &= \text{視距併径較} \dfrac{\text{時較}}{\text{視距較}} \\
\text{復円定真時} &= \text{復円真時} + \text{復円定真時距分}
\end{align} \]
方向角
求初虧真時「……初虧真時対両心実相距角即初虧方位角……」
……初虧真時対両心実相距角即ち初虧方位角。……
求復円真時「……復円真時対両心実相距角即復円方位角……」
……復円真時対両心実相距角即ち復円方位角。……
求初虧併径高弧交角（即初虧定交角）「……初虧在限東者、……（本法以初虧方位角与半周相減）。初虧在限西者、……（本法即用初虧方位角）、得初虧併径高弧交角……」
……初虧限東に在れば、……（本法、初虧方位角を以って半周と相減ず）。初虧限西に在れば、……（本法、即ち初虧方位角を用う）、初虧併径高弧交角を得……。
求復円併径高弧交角（即復円定交角）「……復円在限東者、……（本法即用復円方位角）。復円在限西者、……（本法以復円方位角与半周相減）、得復円併径高弧交角……」
……復円限東に在れば、……（本法、即ち復円方位角を用う）。復円限西に在れば、……（本法、復円方位角を以って半周と相減ず）、復円併径高弧交角を得……。
求初虧方位「初虧在限東者、初虧併径高弧交角初度為正上、四十五度以内為上偏右、四十五度以外為右偏上、九十度為正右、過九十度為右偏下。初虧在限西者、初虧併径高弧交角初度為正下、四十五度以内為下偏右、四十五度以外為右偏下、九十度亦為正右、過九十度為右偏上（若無白経高弧交角而以併径白経交角為併径高弧交角者、則緯南随限西、緯北随限東、定方位）。白経高弧交角大、反減併径白経交角者、則変右為左（白平象限在天頂北、左右相反）」
初虧限東に在れば、初虧併径高弧交角初度は正上と為し、四十五度以内は上偏右と為し、四十五度以外は右偏上と為し、九十度は正右と為し、九十度を過ぐれば右偏下と為す。初虧限西に在れば、初虧併径高弧交角初度は正下と為し、四十五度以内は下偏右と為し、四十五度以外は右偏下と為し、九十度はまた正右と為し、九十度を過ぐれば右偏上と為す（もし白経高弧交角無くして併径白経交角を以って併径高弧交角と為せば、則ち緯南は限西に随ひ、緯北は限東に随ひ、方位を定む）。白経高弧交角大きく、併径白経交角より反減すれば、則ち右を変じて左と為す（白平象限天頂の北に在れば、左右相反す）
求復円方位「復円在限東者、復円併径高弧交角初度為正下、四十五度以内為下偏左、四十五度以外為左偏下、九十度為正左、過九十度為左偏上。復円在限西者、復円併径高弧交角初度為正上、四十五度以内為上偏左、四十五度以外為左偏上、九十度亦為正左、過九十度為左偏下（若無白経高弧交角而以併径白経交角為併径高弧交角者、則緯南随限東、緯北随限西、定方位）。白経高弧交角大、反減併径白経交角者、則変左為右（白平象限在天頂北、左右相反）」
復円限東に在れば、復円併径高弧交角初度は正下と為し、四十五度以内は下偏左と為し、四十五度以外は左偏下と為し、九十度は正左と為し、九十度を過ぐれば左偏上と為す。復円限西に在れば、復円併径高弧交角初度は正上と為し、四十五度以内は上偏左と為し、四十五度以外は左偏上と為し、九十度はまた正左と為し、九十度を過ぐれば左偏下と為す（もし白経高弧交角無くして併径白経交角を以って併径高弧交角と為せば、則ち緯南は限東に随ひ、緯北は限西に随ひ、方位を定む）。白経高弧交角大きく、併径白経交角より反減すれば、則ち左を変じて右と為す（白平象限天頂の北に在れば、左右相反す）。
求食限総時「置復円定真時、減初虧定真時、得食限総時」
復円定真時を置き、初虧定真時を減じ、食限総時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧定交角} &= 180° - \text{対実相距角}(@\text{初虧真時}) \\
\text{復円定交角} &= 180° - \text{対実相距角}(@\text{復円真時}) \\
\text{食限総時} &= \text{復円定真時} - \text{初虧定真時}
\end{align} \]
方向角（初虧定交角、復円定交角）の算出は、初虧復円又法・初虧復円本法、共通の記述となっている。上記では、うち、本法に関係する部分のみを抜粋した。
本法における方向角は、「対実相距角」によって簡単に求められる。初虧・復円定真時における視差計算は行っていないので、初虧・復円真時における「対実相距角」を用いるというのは、又法のときと同様である。
「対実相距角」は、当ブログの式においては、「視月から見て太陽のある方向を基準 0° として、反時計回りに、視月から見て実月のある方向を測った角」と定義している。視月から見て実月は上方（天頂方向）にあるので、「視月から見て太陽のある方向を基準 0° として、反時計回りに、上方を測った角」でもある。そして、これは、「上方を基準 0° として、時計回りに、視月から見て太陽のある方向を測った角」ともいえる。
そして、このブログにおいて、方向角は「上方を基準 0° として、反時計回りに、太陽から見て視月のある方向を測った角」である。
「視月から見て太陽のある方向」と「太陽から見て視月がある方向」は 180°
裏側の方向であり、また、「時計回り」「反時計回り」は角度の符号を反転したものなので、
\[
\text{方向角} = 180° - \text{対実相距角} \]
という関係にある。
暦法新書（寛政）においては、「初虧限東に在れば、……（本法、初虧方位角を以って半周と相減ず）」とあって、初虧限東では、上記のとおり、\( \text{方向角} = 180° - \text{対実相距角} \) として算出しているが、「初虧限西に在れば、……（本法、即ち初虧方位角を用う）」とあり、初虧限西では、\( \text{方向角} = \text{対実相距角} \) とする。これは、「求初虧方位」の条文において、初虧限東は当ブログの定義と同様、上方から反時計回りの角として見ているのに対し、初虧限西は、下方から時計回りの角として見ているため。対実相距角の「上方を基準 0° として、時計回りに、視月から見て太陽のある方向を測った角」は、「下方を基準 0° として、時計回りに、太陽から見て視月のある方向を測った角」であるとも言えるからである。
一方、復円においては「……復円限東に在れば、……（本法、即ち復円方位角を用う）」「復円限西に在れば、……（本法、復円方位角を以って半周と相減ず）」とする。「求復円方位」の条文において、復円限東は「下方から反時計回りの角」、復円限西は「上方から時計回りの角」としており、角度の正負（時計回りか反時計回りか）を無視すれば、復円限東は、初虧限西と同様、対実相距角をそのまま使えばよく、復円限西は、初虧限東と同様、対実相距角の外角を使えばよいということになるからである。
例によって、食甚における方向角は頒暦の日食記事記載にあたり必要であるにもかかわらず、計算方法の記載がない。が、初虧・復円のときと同様、
\[
\text{食甚定交角} = 180° - \text{対実相距角}(@\text{食甚真時}) \]
でよいだろう。
以上で、初虧・復円についての算出の説明を終わる。
次回は、帯食の算出と、地方食（京都以外の観測地点における日食）について。
[参考文献]
吉田 秀升, 山路 徳風, 高橋 至時, (校正) 土御門 泰栄「暦法新書」（寛政） 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
渋川 景佑「寛政暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
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