寛政暦の日食法 (6) 初虧復円又法

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前回までで、寛政暦日食法の食甚計算までが完了した。

今回は、初虧（かけはじめ）、復円（かけおわり）の計算。食甚計算に「本法」と「又法」とがあったが、「本法」「又法」それぞれに初虧復円計算法がある。食甚のところでも、まず「又法」から説明したので、「又法」の初虧復円計算の説明から始める。また、方向角の算出についても、併せて説明する。

初虧用時

推初虧近時第八
求初虧復円平距（即初虧復円距弧。因距食甚用時之度、名距弧故、此名平距弧、以別之）「以食甚定真時両心視相距為勾、併径為弦、求得股為初虧復円平距（如無定真時両心視相距、則併径即初虧復円平距）」
（即ち初虧復円距弧。食甚用時を距するの度、距弧と名づくる故に因り、これ平距弧と名づけ、以ってこれを別く）食甚定真時両心視相距を以って勾と為し、併径、弦と為し、求めて得る股、初虧復円平距と為す（もし定真時両心視相距無ければ、則ち併径即ち初虧復円平距）。
求初虧復円用時距分「以定真時視行為一率、定真時距分為二率、初虧復円平距弧為三率、求得四率為初虧復円用時距分」
定真時視行を以って一率と為し、定真時距分、二率と為し、初虧復円平距弧、三率と為し、求めて得る四率、初虧復円用時距分と為す。
求初虧用時「置食甚定真時、減初虧復円用時距分、得初虧用時」
食甚定真時を置き、初虧復円用時距分を減じ、初虧用時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧復円平距} &= \sqrt{(\text{併径})^2 - (\text{食甚定真時両心視相距})^2} \\
\text{初虧復円用時距分} &= \text{初虧復円平距弧} \times {\text{食甚定真時距分} \over \text{食甚定真時視行}} \\
\text{初虧用時} &= \text{食甚定真時} - \text{初虧復円用時距分}
\end{align} \]

「食甚定真時両心視相距」は、食甚時の太陽と視月の距離である。また、真の食甚時（食甚定真時）は視月が太陽に最接近する時であるから、視月の位置は、視月が進む軌道に対して太陽から降ろした垂線の足であるはず。食の近辺における視月の軌道は、おおざっぱには直線であると近似できるとする。また、初虧・復円とは、日輪と月輪がぎりぎり重ならない、つまり、外接しているときであり、太陽と視月の距離が併径（太陽と月の半径の合計）であるときである。

以上のことから、食甚時の視月と初虧復円時の視月との距離「初虧復円平距」は、太陽・食甚時視月・初虧復円時視月の 3 点を結ぶ直角三角形を考え、斜辺（太陽と初虧復円時視月を結ぶ線分）を併径とし、高さ（太陽と食甚時視月を結ぶ線分）を食甚定真時両心視相距とし、底辺を、勾股弦（三平方の定理）で求めて得ることができる。

そして、視月の角速度は、食甚定真時視行（食甚近時の視月～食甚定真時の視月の距離）を、食甚定真時距分（食甚近時～食甚定真時の時刻差）で割れば求めることが出来 (※)、これで、初虧復円平距を割れば、食甚定真時～初虧復円時の間の時刻差「初虧復円用時距分」を求めることが出来る。食甚定真時から初虧復円用時距分を減算すれば初虧時刻、加算すれば復円時刻となる。

• (※) 月の角速度として「一小時両経斜距」を使っていたが、これは実月の角速度であるから、視月の角速度はこれとは必ずしも一致しないので、「食甚定真時視行 / 食甚定真時距分」を使うわけである。 

しかし、以上の計算は、あくまで、食の近辺で視月が等速直線運動をしていると仮定した場合である。実際はそうではないので、以上の計算で求めた初虧時刻・復円時刻は、初回近似時刻（初虧用時・復円用時）に過ぎない。以降、真の初虧・復円時刻を漸近的に求めていくことになる。

初虧用時の視差計算

求初虧用時太陽距午赤道度「……(略)……」
求初虧用時赤経高弧交角「……(略)……」
求初虧用時太陽距天頂「……(略)……」
求初虧用時白経高弧交角「……(略)……」
求初虧用時高下差「……(略)……」
求初虧用時東西差「……(略)……」
求初虧用時南北差「……(略)……」
求初虧用時実距弧「以一小時為一率、一小時両経斜距為二率、初虧用時与食甚用時相減、余為三率、求得四率為初虧用時実距弧。初虧用時、早於食甚用時為緯西、遅於食甚用時為緯東（初虧固早於食甚、然因東西視差之故、太陽在限西則食甚恒差而遅。夫食甚真時既遅於食甚用時。如東西差甚大而食分又甚小、則初虧用時、或遅於食甚用時者有之矣。若太陽在限東、則必早於食甚用時也）」
一小時を以って一率と為し、一小時両経斜距、二率と為し、初虧用時と食甚用時と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、初虧用時実距弧と為す。初虧用時、食甚用時より早ければ緯西と為し、食甚用時より遅ければ緯東と為す（初虧、固より食甚より早し。然るに東西視差に因るの故、太陽限西に在れば則ち食甚恒に差して遅し。それ食甚真時既に食甚用時より遅し。もし東西差甚大にして食分又甚小なれば、則ち初虧用時、或いは食甚用時より遅きものこれ有り。もし太陽限東に在れば、則ち必ず食甚用時より早きなり）
求初虧用時視距弧「……(略)……」
求初虧用時視緯「……(略)……」
求初虧用時両心視相距「以初虧用時視距弧為股、初虧用時視緯為勾、求得弦為初虧用時両心視相距（如無初虧用時視緯、則初虧用時視距弧即初虧用時両心視相距。後求両心視相距者、皆倣之）。乃視初虧用時両心視相距与併径相等、則初虧用時即初虧真時。如或大或小則用下法求之」
初虧用時視距弧を以って股と為し、初虧用時視緯、勾と為し、求めて得る弦、初虧用時両心視相距と為す（もし初虧用時視緯無ければ、則ち初虧用時視距弧即ち初虧用時両心視相距。後、両心視相距を求むるもの、皆これに倣へ）。もし初虧用時両心視相距を視て併径と相等しければ、則ち初虧用時即ち初虧真時。もし或いは大きく或いは小さければ則ち下法を用ゐこれを求む。
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧用時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧用時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧用時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧用時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧用時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧用時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧用時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧用時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧用時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{高下差}(@\text{初虧用時}) &= \text{地平高下差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧用時})) \\
\text{東西差}(@\text{初虧用時}) &= \text{高下差}(@\text{初虧用時}) \sin(\text{白経高弧交角}(@\text{初虧用時})) \\
\text{南北差}(@\text{初虧用時}) &= - \text{高下差}(@\text{初虧用時}) \cos(\text{白経高弧交角}(@\text{初虧用時})) \\
\text{実距弧}(@\text{初虧用時}) &= (\text{初虧用時} - \text{食甚用時}) \times \text{一小時両経斜距} \times 24_\text{小時/日} \\
\text{視距弧}(@\text{初虧用時}) &= \text{東西差}(@\text{初虧用時}) + \text{実距弧}(@\text{初虧用時}) \\
\text{視緯}(@\text{初虧用時}) &= \text{食甚実緯} + \text{南北差}(@\text{初虧用時}) \\
\text{視相距}(@\text{初虧用時}) &= \sqrt{(\text{視距弧}(@\text{初虧用時}))^2 + (\text{視緯}(@\text{初虧用時}) )^2}
\end{align} \]

初虧時刻の初回近似「初虧用時」における視差計算を行い、視月の位置を求める。暦法新書（寛政）に記載している計算方法は、食甚計算におけるものと変わるところはなく、同内容が繰り返されているに過ぎないので、転載は省略する。

ただし、いくつか説明が必要かと思われる記述もあるので、解説を加える。

《初虧用時実距弧》初虧用時、食甚用時より早ければ緯西と為し、食甚用時より遅ければ緯東と為す（初虧、固より食甚より早し。然るに東西視差に因るの故、太陽限西に在れば則ち食甚恒に差して遅し。それ食甚真時既に食甚用時より遅し。もし東西差甚大にして食分又甚小なれば、則ち初虧用時、或いは食甚用時より遅きものこれ有り。もし太陽限東に在れば、則ち必ず食甚用時より早きなり）

「実距弧」、つまり、実月の Y 座標（東西方向）の計算で、この値は、食甚用時ではゼロ、食甚用時よりも前の時刻では緯西（このブログではマイナス）、後の時刻では緯東（このブログではプラス）である。数値の正負を意識しているこのブログの式においては、普通に計算していけばそういう値として算出されるはずだが、数値の正負の概念を持たず、絶対値でしか計算していない暦法新書（寛政）の式では、計算結果として得られた値が緯東なのか緯西なのかを別途判定する必要があり、その場合、「食甚用時より早ければ緯西、遅ければ緯東」であると言っている。ここまでは、さほど説明を加える必要がある内容ではない。

説明を加える必要があるなと思ったのはカッコのなかの注記だが、これは、「初虧の計算なのだから、食甚用時よりも早い時刻のはずで、緯西に決まっている」という誤解をする人がいると困るので注記しているのである。初虧用時は、食甚定真時よりは必ず前の時刻だが、食甚用時よりも前の時刻とは限らない。日出入に近いあたりの食で月の視差が大きく、食甚用時～食甚定真時の時刻差が大きい一方、食分が浅い食で食の持続時間が短かったりすると食甚定真時～初虧用時の時刻差がそれより小さくなって、初虧用時が食甚用時よりも遅い時刻になることもあるのである。

《初虧用時視相距》「もし初虧用時両心視相距を視て併径と相等しければ、則ち初虧用時即ち初虧真時。もし或いは大きく或いは小さければ則ち下法を用ゐこれを求む。」

初虧用時時点の視相距（太陽と視月の距離）を計算して、たまたまちょうど併径と等しければ、以降の漸近計算を打ち切り、初虧用時をもって真の初虧時刻とせよ、ということである。

これは、以降、初虧近時・初虧真時においても同様の記述がある。

初虧近時

求初虧近時距分「以初虧用時両心視相距為一率、初虧復円用時距分為二率、初虧用時両心視相距与併径相減、余為三率、求得四率為初虧近時距分。初虧用時両心視相距、大於併径為加、小於併径為減」
初虧用時両心視相距を以って一率と為し、初虧復円用時距分、二率と為し、初虧用時両心視相距と併径と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、初虧近時距分と為す。初虧用時両心視相距、併径より大なれば加と為し、併径より小なれば減と為す。
求初虧近時「置初虧用時、加減初虧近時距分、得初虧近時」
初虧用時を置き、初虧近時距分を加減し、初虧近時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧近時距分} &= - \text{初虧復円用時距分} \times {\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧用時}) \over \text{視相距}(@\text{初虧用時})} \\
\text{初虧近時} &= \text{初虧用時} + \text{初虧近時距分}
\end{align} \]

上記で、おおざっぱに求めた初虧の時刻「初虧用時」だが、その時刻における視相距は併径にぴったり同じにはならない。そこで、その誤差を微調整し、より併径に近くなっているであろう時刻「初虧近時」を求める。

ここで行っている比例計算では、

時点	（食甚定真時からの）相対時刻	視相距
食甚定真時	\(0\)	\(0\)
初虧用時	\(- \text{初虧復円用時距分}\)	\(\text{視相距}(@\text{初虧用時})\)

であるとし、時間あたりの視相距の変化量は、\(\dfrac{\text{視相距}(@\text{初虧用時})}{- \text{初虧復円用時距分}}\) であるから、視相距を微調整したい量 \(\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧用時})\) を時間あたりの視相距の変化量で割って、初虧用時と初虧近時の時刻差「初虧近時距分」を求めている。

実際には、食甚定真時の視相距はゼロではないし、時間あたりの視相距の変化量もリニアではないのだが、とりあえずの近似としては悪くない値となるはずである。

「初虧近時距分」の正負は、「初虧用時両心視相距、併径より大なれば加と為し、併径より小なれば減と為す」とされている。すべての量について正負を意識して計算している当ブログの式では、しかるべく正負が算出されてくるが、暦法新書（寛政）では絶対値でしか計算していない。とはいえ、時刻差の正負（未来にずれるのか過去にずれるのか）の判定は容易で、初虧～食甚にかけては、視相距がだんだん小さくなっていくわけだから、初虧用時の視相距が併径よりも大きい（つまり大きすぎる）のであれば、もう少し時刻を後にすれば視相距が併径と等しくなるはず、逆に併径よりも小さい（つまり小さすぎる）のであれば、もう少し時刻を前にすれば視相距が併径と等しくなるはずである。

初虧近時の視差計算

推初虧真時第九
求初虧近時太陽距午赤道度「……(略)……」
求初虧近時赤経高弧交角「……(略)……」
求初虧近時太陽距天頂「……(略)……」
求初虧近時白経高弧交角「……(略)……」
求初虧近時高下差「……(略)……」
求初虧近時東西差「……(略)……」
求初虧近時南北差「……(略)……」
求初虧近時実距弧「……(略)……」
求初虧近時視距弧「……(略)……」
求初虧近時視緯「……(略)……」
求初虧近時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧近時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧近時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧近時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧近時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧近時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧近時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧近時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧近時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧近時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{高下差}(@\text{初虧近時}) &= \text{地平高下差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧近時})) \\
\text{東西差}(@\text{初虧近時}) &= \text{高下差}(@\text{初虧近時}) \sin(\text{白経高弧交角}(@\text{初虧近時})) \\
\text{南北差}(@\text{初虧近時}) &= - \text{高下差}(@\text{初虧近時}) \cos(\text{白経高弧交角}(@\text{初虧近時})) \\
\text{実距弧}(@\text{初虧近時}) &= (\text{初虧近時} - \text{食甚用時}) \times \text{一小時両経斜距} \times 24_\text{小時/日} \\
\text{視距弧}(@\text{初虧近時}) &= \text{東西差}(@\text{初虧近時}) + \text{実距弧}(@\text{初虧近時}) \\
\text{視緯}(@\text{初虧近時}) &= \text{食甚実緯} + \text{南北差}(@\text{初虧近時}) \\
\text{視相距}(@\text{初虧近時}) &= \sqrt{(\text{視距弧}(@\text{初虧近時}))^2 + (\text{視緯}(@\text{初虧近時}) )^2}
\end{align} \]

初虧近時の視差計算を行う。特筆すべき点はない。

初虧真時

求初虧真時距分「以初虧用時両心視相距与初虧近時両心視相距相減、余為一率、初虧近時距分為二率、初虧用時両心視相距与併径相減、余為三率、求得四率為初虧真時距分。初虧用時両心視相距大於併径為加、小於併径為減」
初虧用時両心視相距を以って初虧近時両心視相距と相減じ、余り一率と為し、初虧近時距分、二率と為し、初虧用時両心視相距と併径と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、初虧真時距分と為す。初虧用時両心視相距、併径より大なれば加と為し、併径より小なれば減と為す。
求初虧真時「置初虧用時、加減初虧真時距分、得初虧真時」
初虧用時を置き、初虧真時距分を加減し、初虧真時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧真時距分} &= \text{初虧近時距分} \times {\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧用時}) \over \text{視相距}(@\text{初虧近時}) - \text{視相距}(@\text{初虧用時})} \\
\text{初虧真時} &= \text{初虧用時} + \text{初虧真時距分}
\end{align} \]

先ほどは食甚定真時・初虧用時の時刻・視相距からの比例計算で、視相距が併径になるであろう時刻、初虧近時を求めた。ここでは、初虧用時・初虧近時の時刻・視相距からの比例計算を行って初虧真時を得る。

時点	（初虧用時からの）相対時刻	視相距
初虧用時	\(0\)	\(\text{視相距}(@\text{初虧用時})\)
初虧近時	\(\text{初虧近時距分}\)	\(\text{視相距}(@\text{初虧近時})\)

であるから、時間あたりの視相距の変化量を、\(\dfrac{\text{視相距}(@\text{初虧近時}) - \text{視相距}(@\text{初虧用時})}{\text{初虧近時距分}}\) とし、初虧用時からの視相距の調整量 \(\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧用時})\) を時間あたりの視相距の変化量で割って、初虧用時と初虧真時の時刻差「初虧真時距分」を求めている。

初虧用時～初虧近時の間は、食甚定真時～初虧用時の間のときと比べ、時間間隔も短く、この間をリニアに視相距が変化すると考えたときの誤差量も小さいと思われるので、もう少しましな近似になっているはずである。

初虧真時の視差計算

推初虧定真時第十
求初虧真時太陽距午赤道度「……(略)……」
求初虧真時赤経高弧交角「……(略)……」
求初虧真時太陽距天頂「……(略)……」
求初虧真時白経高弧交角「……(略)……」
求初虧真時高下差「……(略)……」
求初虧真時東西差「……(略)……」
求初虧真時南北差「……(略)……」
求初虧真時実距弧「……(略)……」
求初虧真時視距弧「……(略)……」
求初虧真時視緯「……(略)……」
求初虧考真時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{初虧真時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧真時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{初虧真時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{初虧真時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{初虧真時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{初虧真時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{高下差}(@\text{初虧真時}) &= \text{地平高下差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{初虧真時})) \\
\text{東西差}(@\text{初虧真時}) &= \text{高下差}(@\text{初虧真時}) \sin(\text{白経高弧交角}(@\text{初虧真時})) \\
\text{南北差}(@\text{初虧真時}) &= - \text{高下差}(@\text{初虧真時}) \cos(\text{白経高弧交角}(@\text{初虧真時})) \\
\text{実距弧}(@\text{初虧真時}) &= (\text{初虧真時} - \text{食甚用時}) \times \text{一小時両経斜距} \times 24_\text{小時/日} \\
\text{視距弧}(@\text{初虧真時}) &= \text{東西差}(@\text{初虧真時}) + \text{実距弧}(@\text{初虧真時}) \\
\text{視緯}(@\text{初虧真時}) &= \text{食甚実緯} + \text{南北差}(@\text{初虧真時}) \\
\text{視相距}(@\text{初虧真時}) &= \sqrt{(\text{視距弧}(@\text{初虧真時}))^2 + (\text{視緯}(@\text{初虧真時}) )^2}
\end{align} \]

初虧真時の視差計算を行う。特筆すべき点はない。

初虧定真時

求初虧定真時距分「以初虧近時両心視相距与初虧考真時両心視相距相減、余為一率、初虧近時距分与初虧真時距分相減、余為二率、初虧考真時両心視相距与併径相減、余為三率、求得四率為初虧定真時距分。初虧考真時両心視相距大於併径為加、小於併径為減」
初虧近時両心視相距を以って初虧考真時両心視相距と相減じ、余り一率と為し、初虧近時距分と初虧真時距分と相減じ、余り二率と為し、初虧考真時両心視相距と併径と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、初虧定真時距分と為す。初虧考真時両心視相距、併径より大なれば加と為し、併径より小なれば減と為す。
求初虧真時「置初虧用時、加減初虧真時距分、得初虧真時」
初虧用時を置き、初虧真時距分を加減し、初虧真時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧定真時距分} &= (\text{初虧真時距分} - \text{初虧近時距分}) \times {\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧真時}) \over \text{視相距}(@\text{初虧真時}) - \text{視相距}(@\text{初虧近時})} \\
\text{初虧定真時} &= \text{初虧真時} + \text{初虧定真時距分}
\end{align} \]

さらに、初虧近時・初虧真時の時刻・視相距からの比例計算を行って最終的な初虧時刻「初虧定真時」を得る。

時点	（初虧用時からの）相対時刻	視相距
初虧近時	\(\text{初虧近時距分}\)	\(\text{視相距}(@\text{初虧近時})\)
初虧真時	\(\text{初虧真時距分}\)	\(\text{視相距}(@\text{初虧真時})\)

であるから、時間あたりの視相距の変化量を、\(\dfrac{\text{視相距}(@\text{初虧真時}) - \text{視相距}(@\text{初虧近時})}{\text{初虧真時距分} - \text{初虧近時距分}}\) とし、初虧真時からの視相距の調整量 \(\text{併径} - \text{視相距}(@\text{初虧真時})\) を時間あたりの視相距の変化量で割って、初虧真時と初虧定真時の時刻差「初虧定真時距分」を求める。

 

以上で、初虧時刻の算出は終了。以降は復円時刻の計算だが、特段、初虧時刻の場合と変わるところはない。

復円用時

推復円近時第十一
求復円用時「置食甚定真時、加初虧復円用時距分、得復円用時」
食甚定真時を置き、初虧復円用時距分を加へ、復円用時を得。
\[ \begin{align}
\text{復円用時} &= \text{食甚定真時} + \text{初虧復円用時距分}
\end{align} \]

初虧用時は、\(\text{食甚定真時} - \text{初虧復円用時距分}\) であったが、復円用時は \(\text{食甚定真時} + \text{初虧復円用時距分}\) となる。

復円用時の視差計算

求復円用時太陽距午赤道度「……(略)……」
求復円用時赤経高弧交角「……(略)……」
求復円用時太陽距天頂「……(略)……」
求復円用時白経高弧交角「……(略)……」
求復円用時高下差「……(略)……」
求復円用時東西差「……(略)……」
求復円用時南北差「……(略)……」
求復円用時実距弧「以一小時為一率、一小時両経斜距為二率、復円用時与食甚用時相減、余為三率、求得四率為復円用時実距弧。復円用時、早於食甚用時為緯西、遅於食甚用時為緯東（復円固遅於食甚、然因東西視差之故、太陽在限東則食甚真時必早於食甚用時。如東西差甚大而食分又甚小、則復円用時、或早於食甚用時。若太陽在限西、則必遅於食甚用時也）」
一小時を以って一率と為し、一小時両経斜距、二率と為し、復円用時と食甚用時と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、復円用時実距弧と為す。復円用時、食甚用時より早ければ緯西と為し、食甚用時より遅ければ緯東と為す（復円固より食甚より遅し、然れども東西視差に因るの故、太陽限東に在れば則ち食甚真時必ず食甚用時より早し。もし東西差甚大にして食分又甚小なれば、則ち復円用時、或いは食甚用時より早し。もし太陽限西に在れば、則ち必ず食甚用時より遅きなり）
求復円用時視距弧「……(略)……」
求復円用時視緯「……(略)……」
求復円用時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円用時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{復円用時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円用時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円用時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{復円用時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{復円用時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円用時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{復円用時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{復円用時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{高下差}(@\text{復円用時}) &= \text{地平高下差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{復円用時})) \\
\text{東西差}(@\text{復円用時}) &= \text{高下差}(@\text{復円用時}) \sin(\text{白経高弧交角}(@\text{復円用時})) \\
\text{南北差}(@\text{復円用時}) &= - \text{高下差}(@\text{復円用時}) \cos(\text{白経高弧交角}(@\text{復円用時})) \\
\text{実距弧}(@\text{復円用時}) &= (\text{復円用時} - \text{食甚用時}) \times \text{一小時両経斜距} \times 24_\text{小時/日} \\
\text{視距弧}(@\text{復円用時}) &= \text{東西差}(@\text{復円用時}) + \text{実距弧}(@\text{復円用時}) \\
\text{視緯}(@\text{復円用時}) &= \text{食甚実緯} + \text{南北差}(@\text{復円用時}) \\
\text{視相距}(@\text{復円用時}) &= \sqrt{(\text{視距弧}(@\text{復円用時}))^2 + (\text{視緯}(@\text{復円用時}) )^2}
\end{align} \]

 復円用時の視差計算は特筆すべきところなし。「実相距」のところで初虧と同じく、「復円用時は、必ずしも食甚用時よりも後の時刻ではないよ」との記載がある。

復円近時

求復円近時距分「以復円用時両心視相距為一率、初虧復円用時距分為二率、復円用時両心視相距与併径相減、余為三率、求得四率為復円近時距分。復円用時両心視相距、大於併径為減、小於併径為加」
復円用時両心視相距を以って一率と為し、初虧復円用時距分、二率と為し、復円用時両心視相距と併径と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、復円近時距分と為す。復円用時両心視相距、併径より大なれば減と為し、併径より小なれば加と為す。
求復円近時「置復円用時、加減復円近時距分、得復円近時」
復円用時を置き、復円近時距分を加減し、復円近時を得。
\[ \begin{align}
\text{復円近時距分} &= \text{初虧復円用時距分} \times {\text{併径} - \text{視相距}(@\text{復円用時}) \over \text{視相距}(@\text{復円用時})} \\
\text{復円近時} &= \text{復円用時} + \text{復円近時距分}
\end{align} \]

初虧のときとほぼ同様だが、

時点	（食甚定真時からの）相対時刻	視相距
食甚定真時	\(0\)	\(0\)
復円用時	\(+ \text{初虧復円用時距分}\)	\(\text{視相距}(@\text{初虧用時})\)

であり、復円用時は、食甚定真時から初虧復円用時距分だけ「後」である（初虧のときは「前」だった）。よって、時間あたりの視相距の変化量は、\(\dfrac{\text{視相距}(@\text{初虧用時})}{\text{初虧復円用時距分}}\) となる。

「復円近時距分」の正負は、初虧の場合とは逆で「復円用時両心視相距、併径より大なれば減と為し、併径より小なれば加と為す」。食甚～復円にかけては、視相距がだんだん大きくなっていくからである。当ブログの式ではしかるべく計算すれば正負が自然に出てくる。

復円近時の視差計算

推復円真時第十二
求復円近時太陽距午赤道度「……(略)……」
求復円近時赤経高弧交角「……(略)……」
求復円近時太陽距天頂「……(略)……」
求復円近時白経高弧交角「……(略)……」
求復円近時高下差「……(略)……」
求復円近時東西差「……(略)……」
求復円近時南北差「……(略)……」
求復円近時実距弧「……(略)……」
求復円近時視距弧「……(略)……」
求復円近時視緯「……(略)……」
求復円近時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円近時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{復円近時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円近時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円近時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{復円近時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{復円近時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円近時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{復円近時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{復円近時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{高下差}(@\text{復円近時}) &= \text{地平高下差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{復円近時})) \\
\text{東西差}(@\text{復円近時}) &= \text{高下差}(@\text{復円近時}) \sin(\text{白経高弧交角}(@\text{復円近時})) \\
\text{南北差}(@\text{復円近時}) &= - \text{高下差}(@\text{復円近時}) \cos(\text{白経高弧交角}(@\text{復円近時})) \\
\text{実距弧}(@\text{復円近時}) &= (\text{復円近時} - \text{食甚用時}) \times \text{一小時両経斜距} \times 24_\text{小時/日} \\
\text{視距弧}(@\text{復円近時}) &= \text{東西差}(@\text{復円近時}) + \text{実距弧}(@\text{復円近時}) \\
\text{視緯}(@\text{復円近時}) &= \text{食甚実緯} + \text{南北差}(@\text{復円近時}) \\
\text{視相距}(@\text{復円近時}) &= \sqrt{(\text{視距弧}(@\text{復円近時}))^2 + (\text{視緯}(@\text{復円近時}) )^2}
\end{align} \]

 特筆すべき点はない。

復円真時

求復円真時距分「以復円用時両心視相距与復円近時両心視相距相減、余為一率、復円近時距分為二率、復円用時両心視相距与併径相減、余為三率、求得四率為復円真時距分。復円用時両心視相距大於併径為減、小於併径為加」
復円用時両心視相距を以って復円近時両心視相距と相減じ、余り一率と為し、復円近時距分、二率と為し、復円用時両心視相距と併径と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、復円真時距分と為す。復円用時両心視相距、併径より大なれば減と為し、併径より小なれば加と為す。
求復円真時「置復円用時、加減復円真時距分、得復円真時」
復円用時を置き、復円真時距分を加減し、復円真時を得。
\[ \begin{align}
\text{復円真時距分} &= \text{復円近時距分} \times {\text{併径} - \text{視相距}(@\text{復円用時}) \over \text{視相距}(@\text{復円近時}) - \text{視相距}(@\text{復円用時})} \\
\text{復円真時} &= \text{復円用時} + \text{復円真時距分}
\end{align} \]

初虧真時算出のときと同様の比例計算で、復円真時を求める。計算式の形式としても変わるところがない。

復円真時の視差計算

推復円定真時第十三
求復円真時太陽距午赤道度「……(略)……」
求復円真時赤経高弧交角「……(略)……」
求復円真時太陽距天頂「……(略)……」
求復円真時白経高弧交角「……(略)……」
求復円真時高下差「……(略)……」
求復円真時東西差「……(略)……」
求復円真時南北差「……(略)……」
求復円真時実距弧「……(略)……」
求復円真時視距弧「……(略)……」
求復円真時視緯「……(略)……」
求復円考真時両心視相距「……(略)……」
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時}) &= {360° \over 1_\text{日}} \times (\text{復円真時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時})) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距日分辺} &= \text{太陽距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時})) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角}(@\text{復円真時}) &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距日分辺})} \\
\text{太陽距天頂}(@\text{復円真時}) &= \cos^{-1} \left(\begin{aligned}
&\cos(\text{北極距天頂}) \cos(\text{太陽距北極}) \\
&+ \sin(\text{北極距天頂}) \sin(\text{太陽距北極}) \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{復円真時}))
\end{aligned} \right) \\
\text{白経高弧交角}(@\text{復円真時}) &= \text{赤経高弧交角}(@\text{復円真時}) + \text{赤白二経交角} \\
\text{高下差}(@\text{復円真時}) &= \text{地平高下差}(@\text{実朔実時}) \times \sin(\text{太陽距天頂}(@\text{復円真時})) \\
\text{東西差}(@\text{復円真時}) &= \text{高下差}(@\text{復円真時}) \sin(\text{白経高弧交角}(@\text{復円真時})) \\
\text{南北差}(@\text{復円真時}) &= - \text{高下差}(@\text{復円真時}) \cos(\text{白経高弧交角}(@\text{復円真時})) \\
\text{実距弧}(@\text{復円真時}) &= (\text{復円真時} - \text{食甚用時}) \times \text{一小時両経斜距} \times 24_\text{小時/日} \\
\text{視距弧}(@\text{復円真時}) &= \text{東西差}(@\text{復円真時}) + \text{実距弧}(@\text{復円真時}) \\
\text{視緯}(@\text{復円真時}) &= \text{食甚実緯} + \text{南北差}(@\text{復円真時}) \\
\text{視相距}(@\text{復円真時}) &= \sqrt{(\text{視距弧}(@\text{復円真時}))^2 + (\text{視緯}(@\text{復円真時}) )^2}
\end{align} \]

 特筆すべき点はない。

復円定真時

求復円定真時距分「以復円近時両心視相距与復円考真時両心視相距相減、余為一率、復円近時距分与復円真時距分相減、余為二率、復円考真時両心視相距与併径相減、余為三率、求得四率為復円定真時距分。復円考真時両心視相距大於併径為減、小於併径為加」
復円近時両心視相距を以って復円考真時両心視相距と相減じ、余り一率と為し、復円近時距分と復円真時距分と相減じ、余り二率と為し、復円考真時両心視相距と併径と相減じ、余り三率と為し、求めて得る四率、復円定真時距分と為す。復円考真時両心視相距併径より大なれば減と為し、併径より小なれば加と為す。
求復円真時「置復円用時、加減復円真時距分、得復円真時」
復円用時を置き、復円真時距分を加減し、復円真時と得す。
\[ \begin{align}
\text{復円定真時距分} &= (\text{復円真時距分} - \text{復円近時距分}) \times {\text{併径} - \text{視相距}(@\text{復円真時}) \over \text{視相距}(@\text{復円真時}) - \text{視相距}(@\text{復円近時})} \\
\text{復円定真時} &= \text{復円真時} + \text{復円定真時距分}
\end{align} \]

やはり、初虧定真時算出のときと同様の比例計算で、復円真時を求める。計算式の形式としても、やはり変わるところがない。

以上で、初虧・復円の時刻計算は終わり。

計算方法について記載はないが、食既（皆既のはじめ）、生光（皆既のおわり）の時刻を求めたいのであれば、
\[ \text{両径較} = \text{太陰視半径} - \text{太陽実半径} \]
とし、「併径」とあるところを「両径較」に読み替えて計算すれば求められるであろう。また、太陽実半径の方が太陰視半径より大きく金環食となる場合、
\[ \text{両径較} = \text{太陽実半径} - \text{太陰視半径} \]
として同様にすれば、金環のはじめ、金環のおわりの時刻が求められるはず。

方向角

求初虧併径白経交角「以初虧真時視緯為一率、初虧真時視距弧為二率、半径為三率、求得四率為併径白経交角之正切線、検表得初虧併径白経交角。如初虧真時無緯則併径与白道合併径白経交角為九十度」
初虧真時視緯を以って一率と為し、初虧真時視距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、併径白経交角の正切線と為し、表を検じ初虧併径白経交角を得。もし初虧真時視緯無ければ、則ち併径と白道合し、併径白経交角九十度と為す。
求復円併径白経交角「以復円真時視緯為一率、復円真時視距弧為二率、半径為三率、求得四率為併径白経交角之正切線、検表得復円併径白経交角。如復円真時無視緯則併径与白道合併径白経交角為九十度」
復円真時視緯を以って一率と為し、復円真時視距弧、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、併径白経交角の正切線と為す、表を検じ復円併径白経交角を得。もし復円真時視緯無ければ、則ち併径と白道合し、併径白経交角九十度と為す。
求初虧併径高弧交角（即初虧定交角）「置初虧併径白経交角、加減初虧真時白経高弧交角、得初虧併径高弧交角。初虧在限東者、緯南則加（南北以初虧視緯論）、与半周相減、緯北則減（本法以初虧方位角与半周相減）。初虧在限西者、緯北則加、与半周相減、緯南則減（本法即用初虧方位角）、得初虧併径高弧交角（若白平象限在天頂北、則緯南如緯北、緯北如緯南）。如無初虧白経高弧交角、則初虧併径白経交角即初虧併径高弧交角。如両角相等而減尽無余、或相加適足一百八十度、則交角為初度」
初虧併径白経交角を置き、初虧真時白経高弧交角を加減し、初虧併径高弧交角を得。初虧限東に在れば、緯南則ち加へ（南北は初虧視緯を以って論ず）、半周と相減じ、緯北は則ち減ず（本法、初虧方位角を以って半周と相減ず）。初虧限西に在れば、緯北は則ち加へ、半周と相減じ、緯南は則ち減じ（本法、即ち初虧方位角を用う）、初虧併径高弧交角を得（もし白平象限天頂の北に在れば、則ち緯南は緯北の如く、緯北は緯南の如し）。もし初虧白経高弧交角無ければ、則ち初虧併径白経交角即ち初虧併径高弧交角。もし両角相等しくして減じ尽して余り無く、或いは相加へて適たま一百八十度に足れば、則ち交角初度と為す。
求復円併径高弧交角（即復円定交角）「置復円併径白経交角、加減復円真時白経高弧交角、得復円併径高弧交角。復円在限東者、緯北則加（南北以復円視緯論）、与半周相減、緯南則減（本法即用復円方位角）。復円在限西者、緯南則加、与半周相減、緯北則減（本法以復円方位角与半周相減）、得復円併径高弧交角（若白平象限在天頂北、則緯南如緯北、緯北如緯南）。如無復円白経高弧交角、則復円併径白経交角即復円併径高弧交角。如両角相等而減尽無余、或相加適足一百八十度、則交角為初度」
復円併径白経交角を置き、復円真時白経高弧交角を加減し、復円併径高弧交角を得。復円限東に在れば、緯北は則ち加へ（南北は復円視緯を以って論ず）、半周と相減じ、緯南は則ち減ず（本法、即ち復円方位角を用う）。復円限西に在れば、緯南則ち加へ、半周と相減じ、緯北は則ち減じ（本法、復円方位角を以って半周と相減ず）、復円併径高弧交角を得（もし白平象限天頂の北に在れば、則ち緯南は緯北の如く、緯北は緯南の如し）。もし復円白経高弧交角無ければ、則ち復円併径白経交角即ち復円併径高弧交角。もし両角相等しくして減じ尽して余り無く、或いは相加へて適たま一百八十度に足れば、則ち交角初度と為す。
求初虧方位「初虧在限東者、初虧併径高弧交角初度為正上、四十五度以内為上偏右、四十五度以外為右偏上、九十度為正右、過九十度為右偏下。初虧在限西者、初虧併径高弧交角初度為正下、四十五度以内為下偏右、四十五度以外為右偏下、九十度亦為正右、過九十度為右偏上（若無白経高弧交角而以併径白経交角為併径高弧交角者、則緯南随限西、緯北随限東、定方位）。白経高弧交角大、反減併径白経交角者、則変右為左（白平象限在天頂北、左右相反）」
初虧限東に在れば、初虧併径高弧交角初度は正上と為し、四十五度以内は上偏右と為し、四十五度以外は右偏上と為し、九十度は正右と為し、九十度を過ぐれば右偏下と為す。初虧限西に在れば、初虧併径高弧交角初度は正下と為し、四十五度以内は下偏右と為し、四十五度以外は右偏下と為し、九十度はまた正右と為し、九十度を過ぐれば右偏上と為す（もし白経高弧交角無くして併径白経交角を以って併径高弧交角と為せば、則ち緯南は限西に随ひ、緯北は限東に随ひ、方位を定む）。白経高弧交角大きく、併径白経交角より反減すれば、則ち右を変じて左と為す（白平象限天頂の北に在れば、左右相反す）
求復円方位「復円在限東者、復円併径高弧交角初度為正下、四十五度以内為下偏左、四十五度以外為左偏下、九十度為正左、過九十度為左偏上。復円在限西者、復円併径高弧交角初度為正上、四十五度以内為上偏左、四十五度以外為左偏上、九十度亦為正左、過九十度為左偏下（若無白経高弧交角而以併径白経交角為併径高弧交角者、則緯南随限東、緯北随限西、定方位）。白経高弧交角大、反減併径白経交角者、則変左為右（白平象限在天頂北、左右相反）」
復円限東に在れば、復円併径高弧交角初度は正下と為し、四十五度以内は下偏左と為し、四十五度以外は左偏下と為し、九十度は正左と為し、九十度を過ぐれば左偏上と為す。復円限西に在れば、復円併径高弧交角初度は正上と為し、四十五度以内は上偏左と為し、四十五度以外は左偏上と為し、九十度はまた正左と為し、九十度を過ぐれば左偏下と為す（もし白経高弧交角無くして併径白経交角を以って併径高弧交角と為せば、則ち緯南は限東に随ひ、緯北は限西に随ひ、方位を定む）。白経高弧交角大きく、併径白経交角より反減すれば、則ち左を変じて右と為す（白平象限天頂の北に在れば、左右相反す）。
求食限総時「置復円定真時、減初虧定真時、得食限総時」
復円定真時を置き、初虧定真時を減じ、食限総時を得。
\[ \begin{align}
\text{初虧併径白経交角} &= \tan^{-1} {\text{視距弧}(@\text{初虧真時}) \over \text{視緯}(@\text{初虧真時})} \\
\text{復円併径白経交角} &= \tan^{-1} {\text{視距弧}(@\text{復円真時}) \over \text{視緯}(@\text{復円真時})} \\
\text{初虧定交角} &= \text{白経高弧交角}(@\text{初虧真時}) + \text{初虧併径白経交角} \\
\text{復円定交角} &= \text{白経高弧交角}(@\text{復円真時}) + \text{復円併径白経交角} \\
\text{食限総時} &= \text{復円定真時} - \text{初虧定真時}
\end{align} \]

日食における方向角は、光る天体（太陽）から見て隠ぺいする天体（視月）がある方向である。北方を X軸、白道前方を Y軸、太陽の位置を (0, 0) とする直交座標において、視月の位置は (視緯, 視距弧) である。このとき、太陽から見て視月のある方向を、北方を基準方向 0° として反時計回りに測ったとき、
\[ \text{方向} = \tan^{-1} \dfrac{\text{視距弧}}{\text{視緯}} \]
として求めることが出来る（\(\tan^{-1} \dfrac{Y}{X} \) は、例によって ATAN2 で算出するとする）。これが「初虧/復円併径白経交角」である。

これに、白経高弧交角（上方を基準方向 0° として北方を反時計回りに測った角）を加算すれば、「太陽から見て視月のある方向を、上方を基準方向 0° として反時計回りに測った角」を求めることが出来る。

ただし、初虧/復円定真時の視差計算はしていないので、その時点の白経高弧交角・視緯・視距弧を求めてはいない。初虧/復円真時の視差計算はしてあって、その時点でそこそこ十分に定真時に近い時刻になっているはずなので、かわりに初虧/復円真時の白経高弧交角・視緯・視距弧を用いる。

初虧・復円のときの方向角の式しか記載されていないが、頒暦に日食記事記載にあたっては食甚時の方向角も必要である。これもまったく同じ方法で、
\[ \text{食甚定交角} = \text{白経高弧交角}(@\text{食甚真時}) + \tan^{-1} {\text{視距弧}(@\text{食甚真時}) \over \text{視緯}(@\text{食甚真時})} \]
として求めることが出来るだろう。同様に、定真時の白経高弧交角・視緯・視距弧は求めていないから、代わりに食甚真時のものをもちいてよいだろう。

食既（皆既のはじめ）・生光（皆既のおわり）の方向角も同様にして求められるだろう。

当ブログの式においては、向きを反時計回りに統一して角度の正負を算出しているので、単純に白経高弧交角と併径白経交角を加算すればいいのだが、暦法新書（寛政）では複雑に場合分けして計算している。

 白経高弧交角は、「限東」つまり、白経（北方）が高弧（上方）よりも東に（左に）傾いているときは、当ブログでの値では第 1, 2 象限であり、「限西」つまり、白経が高弧よりも西に（右に）傾いているとき、当ブログでの値では第 3, 4 象限である。また、白平象限が南（太陽の南中位置が天頂の南）のとき、当ブログでの値では、0° 前後、つまり、第 1, 4 象限、白平象限が北（熱帯地域であって、太陽の南中位置が天頂の北）では、180° 前後、つまり、第 2, 3 象限である。

一方、併径白経交角は、緯東（当ブログにおける視距弧がプラス）のとき、第 1, 2 象限で、緯西（当ブログにおける視距弧がマイナス）のとき、第 3, 4 象限。そして、月は太陽に西から近づいて東に抜けるから、初虧においては緯西、復円においては緯東である。また、緯北（当ブログにおける視緯がプラス）のとき、第 1, 4 象限で、緯南（当ブログにおける視緯がマイナス）のとき、第 2, 3 象限。

当ブログにおける角度（上図の赤矢印）は常に反時計回りで定義しているのに対し、暦法新書（寛政）における角度（上図の黒矢印）は象限によって時計回りだったり反時計回りだったりする。よって、当ブログの角度であれば単に「加算する」と言えばいいところを、同方向であれば足すし、異方向であれば引かないといけない。また、上方/北方が原点だったり、下方/南方が原点だったりするので、加減して得られた定交角も上方が原点だったり下方が原点だったりする。

暦法新書（寛政）における場合分け計算がどうなっているのか読み解いて解説するのは、煩雑なので省略するが、ちゃんと妥当な場合分け計算になっているとは言っておく。

以上で、「又法」における初虧復円計算の説明は終わり。

次回は、「本法」における初虧復円計算について。

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[参考文献]

吉田 秀升, 山路 徳風, 高橋 至時, (校正) 土御門 泰栄「暦法新書」（寛政） 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵

渋川 景佑「寛政暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵