天保暦の日食法 (4) 食甚近時と食甚設時の位置計算

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前回は、天保暦日食法が地球輪内の観測者の位置をどのように計算しているのかについて解説した。そして、食甚用時の「東西差」（ヨコ方向のずれ）について新法暦書条文の計算方法を見、そして、食甚時刻の漸近計算の出発点となる時刻「食甚近時」「食甚設時」を求めた。

今回は、食甚近時・設時における観測者・月の地球輪内の位置計算を行う。食甚用時のところでは「東西差」のみが計算されていたが、食甚近時・設時では「南北差」等の量も計算する。

 

食甚近時の東西差

推食甚近時両心視相距
求近時太陽距午赤道度「以食甚近時与半周日相減、余数変赤道度、得近時太陽距午赤道度（近時不及半周日、則為午前、過半周日、則為午後。如太陽在正午、無距午赤道度、則無赤道東西差、南北法数即赤道南北差）」
食甚近時を以って半周日と相減じ、余数、赤道度に変じ、近時太陽距午赤道度を得（近時、半周日に及ばざれば、則ち午前と為し、半周日を過ぐれば、則ち午後と為す。もし太陽、正午に在り、距午赤道度無ければ、則ち赤道東西差無く、南北法数即ち赤道南北差）。
求近時赤道東西差「以半径為一率、近時距午赤道度之正弦為二率、東西原数為三率、求得四率為近時赤道東西差」
半径を以って一率と為し、近時距午赤道度の正弦、二率と為し、東西原数、三率と為し、求めて得る四率、近時赤道東西差と為す。
求近時赤道南北差「以半径為一率、近時太陽距午赤道度之余弦為二率、南北法数為三率、求得四率為近時赤道南北差」
半径を以って一率と為し、近時太陽距午赤道度の余弦、二率と為し、南北法数、三率と為し、求めて得る四率、近時赤道南北差と為す。
求近時東西汎差「以半径為一率、赤白二経交角之余弦為二率、近時赤道東西差為三率、求得四率為近時東西汎差（如無赤白二経交角、則無東西汎差）」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の余弦、二率と為し、近時赤道東西差、三率と為し、求めて得る四率、近時東西汎差と為す（もし赤白二経交角無ければ、則ち東西汎差無し）。
求近時東西二差「以半径為一率、赤白二経交角之正弦為二率、近時赤道南北差為三率、求得四率為近時東西二差（如無赤白二経交角、則無東西二差）」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の正弦、二率と為し、近時赤道南北差、三率と為し、求めて得る四率、近時東西二差と為す（もし赤白二経交角無ければ、則ち東西二差無し）。
求近時東西加減差「以東西一差与近時東西二差相加減（太陽赤道緯度南則相加、北則相減。如太陽距午赤道度過九十度、則相加）、得近時東西加減差」
東西一差を以って近時東西二差と相加減し（太陽赤道緯度南は則ち相加へ、北は則ち相減ず。もし太陽距午赤道度九十度を過ぐれば、則ち相加ふ）、近時東西加減差を得。
求近時東西差「置近時東西汎差、加減近時東西加減差、得近時東西差（近時午前者、赤白二経交角、東則加、西則減、仍為限東。不足減者、反減、変為限西。近時午後者、赤白二経交角、東則減、西則加、仍為限西。不足減者、反減、変為限東。如両数相等而減尽無余、則太陽正当白平象限、無東西差。又、無赤白二経交角、則赤道東西差即東西差）」
近時東西汎差を置き、近時東西加減差を加減し、近時東西差を得（近時午前は、赤白二経交角、東は則ち加へ、西は則ち減じ、なほ限東と為す。減に足らざれば、反減し、変じて限西と為す。近時午後は、赤白二経交角、東は則ち減じ、西は則ち加へ、なほ限西と為す。減に足らざれば、反減し、変じて限東と為す。もし両数相等しくて減じ尽し余り無ければ、則ち太陽まさに白平象限に当り、東西差無し。又、赤白二経交角無ければ、則ち赤道東西差即ち東西差）。
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{近時}) &= {360° \over 1_\text{日}} (\text{食甚近時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{赤道東西差}(@\text{近時}) &= \text{東西原数} \sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{近時})) \\
\text{赤道南北差}(@\text{近時}) &= \text{南北法数} \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{近時})) \\
\text{東西汎差}(@\text{近時}) &= \text{赤道東西差}(@\text{近時}) \cos(\text{赤白二経交角}) \\
\text{東西二差}(@\text{近時}) &= \text{赤道南北差}(@\text{近時}) \sin(\text{赤白二経交角}) \\
\text{東西加減差}(@\text{近時}) &= \text{東西一差} - \text{東西二差}(@\text{近時}) \\
\text{東西差}(@\text{近時}) &= \text{東西汎差}(@\text{近時}) + \text{東西加減差}(@\text{近時})
\end{align} \]

食甚近時における「東西差」（太陽から見て、観測者は地心よりどれだけ右（東）に位置しているか）を算出する。食甚用時における計算方法とまったく同じ。

食甚近時の南北差

求近時南北一差「以半径為一率、赤白二経交角之正弦為二率、近時赤道東西差為三率、求得四率為近時南北一差（如無赤白二経交角、則無南北一差及二差）」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の正弦、二率と為し、近時赤道東西差、三率と為し、求めて得る四率、近時南北一差と為す（もし赤白二経交角無ければ、則ち南北一差及び二差無し）。
求近時南北二差「以半径為一率、赤白二経交角之余弦為二率、近時赤道南北差為三率、求得四率為近時南北二差」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の余弦、二率と為し、近時赤道南北差、三率と為し、求めて得る四率、近時南北二差と為す。
求近時南北加減差「置近時南北二差、加減近時南北一差、得近時南北加減差（太陽赤道緯度南、赤白二経交角東者、近時午前則減、午後則加。赤白二経交角西者、近時午前則加、午後則減、仍為加。不足減者、反減、変為減。太陽赤道緯度北、赤白二経交角東者、近時午前則加、午後則減。赤白二経交角西者、近時午前則減、午後則加、仍為減。不足減者、反減、変為加。如太陽距午赤道度過九十度者、赤白二経交角東、近時午前則減、仍為減。不足減者、反減、亦為減。午後則加、仍為加。赤白二経交角西、近時午前則加、仍為加。午後則減、仍為減。不足減者、反減、亦為減。如両数相等而減尽無余、則南北汎差即南北差）」
近時南北二差を置き、近時南北一差を加減し、近時南北加減差を得（太陽赤道緯度南は、赤白二経交角東は、近時午前則ち減じ、午後則ち加ふ。赤白二経交角西は、近時午前則ち加へ、午後則ち減じ、なほ加と為す。減に足らざれば、反減し、変じて減と為す。太陽赤道緯度北は、赤白二経交角東は、近時午前則ち加へ、午後則ち減ず。赤白二経交角西は、近時午前則ち減じ、午後則ち加へ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、変じて加と為す。もし太陽距午赤道度九十度を過ぐれば、赤白二経交角東は、近時午前則ち減じ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す。午後則ち加へ、なほ加と為す。赤白二経交角西は、近時午前則ち加へ、なほ加と為す。午後則ち減じ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す。もし両数相等しくて減じ尽し余り無ければ、則ち南北汎差即ち南北差）。
求近時南北差「置南北汎差、加減近時南北加減差、得近時南北差（如無南北一差及二差、則赤道南北差即南北差）」
南北汎差を置き、近時南北加減差を加減し、近時南北差を得（もし南北一差及び二差無ければ、則ち赤道南北差即ち南北差）。
\[ \begin{align}
\text{南北一差}(@\text{近時}) &= \text{赤道東西差}(@\text{近時}) \sin(\text{赤白二経交角}) \\
\text{南北二差}(@\text{近時}) &= \text{赤道南北差}(@\text{近時}) \cos(\text{赤白二経交角}) \\
\text{南北加減差}(@\text{近時}) &= \text{南北二差}(@\text{近時}) + \text{南北一差}(@\text{近時}) \\
\text{南北差}(@\text{近時}) &= \text{南北汎差} - \text{南北加減差}(@\text{近時})
\end{align} \]

新法暦書の食甚用時のところでは計算式が登場しないものの、話の都合上、前回、食甚用時における南北差の算出法を示しておいた。今回、詳述する。

「南北差」は、「太陽から見て、観測者は地心よりどれだけ上（北）に位置しているか」である。前回算出した観測者の位置 \(P^{\prime\prime}\) の Y 座標であって、
\[ \begin{align}
\text{南北差} &= \text{南北汎差} - \text{東西原数} \sin \theta \sin \tau - \text{南北法数} \cos \theta \cos \tau \\
&= \sin \phi^\prime \cos \delta_s \cos \theta - r \cos \phi^\prime \sin \theta \sin \tau - r \cos \phi^\prime \cos \delta_s \cos \theta \cos \tau
\end{align} \]
として算出されるものである。それを、
\[ \begin{align}
\text{南北汎差} &= \text{南北原数} \cos \theta &&= \sin \phi^\prime \cos \delta_s \cos \theta \\
\text{太陽距午赤道度} &= \tau \\
\text{赤道東西差} &= \text{東西原数} \sin \tau &&= r \cos \phi^\prime \sin \tau \\
\text{赤道南北差} &= \text{南北法数} \cos \tau &&= r \cos \phi^\prime \sin \delta_s \cos \tau \\
\text{南北一差} &= \text{赤道東西差} \sin(\text{赤白二経交角}) &&= r \cos \phi^\prime \sin \theta \sin \tau \\
\text{南北二差} &= \text{赤道南北差} \cos(\text{赤白二経交角}) &&= r \cos \phi^\prime \sin \delta_s \cos \theta \cos \tau \\
\text{南北加減差} &= \text{南北一差} + \text{南北二差} &&= r \cos \phi^\prime \sin \theta \sin \tau + r \cos \phi^\prime \cos \delta_s \cos \theta \cos \tau \\
\text{南北差} &= \text{南北汎差} - \text{南北加減差} &&= \sin \phi^\prime \cos \delta_s \cos \theta - r \cos \phi^\prime \sin \theta \sin \tau - r \cos \phi^\prime \cos \delta_s \cos \theta \cos \tau
\end{align} \]
として算出しているわけである。

なお、求近時南北一差の割注に「もし赤白二経交角無ければ、則ち南北一差及び二差無し」とある。南北一差についてこの記述は正しいが、南北二差については、\(\text{南北二差} = \text{赤道南北差} \cos(\text{赤白二経交角})\) であり、赤白二経交角がゼロのときは、南北二差はゼロではなく、南北二差 = 赤道南北差となるはずで、割注の記述は間違っている。

例によって、正負数の概念を使わずに記述している新法暦書では、加減の説明がややこしい。解説しておく。

《南北加減差》（南北二差と南北一差の加減）太陽赤道緯度南は、赤白二経交角東は、近時午前則ち減じ、午後則ち加ふ。赤白二経交角西は、近時午前則ち加へ、午後則ち減じ、なほ加と為す。減に足らざれば、反減し、変じて減と為す。太陽赤道緯度北は、赤白二経交角東は、近時午前則ち加へ、午後則ち減ず。赤白二経交角西は、近時午前則ち減じ、午後則ち加へ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、変じて加と為す。もし太陽距午赤道度九十度を過ぐれば、赤白二経交角東は、近時午前則ち減じ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す。午後則ち加へ、なほ加と為す。赤白二経交角西は、近時午前則ち加へ、なほ加と為す。午後則ち減じ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す。

赤白二経交角 \(\theta\) は、5～6° ほどの小さな角であり、\(\sin \theta\) に従う南北一差は、南北二差より絶対値が小さい値となる。よって、南北二差をベースに、南北一差を加減する式となっている。

南北二差 \(r \cos \phi^\prime \sin \delta_s \cos \tau \cos \theta\) のうち、\(r \cos \phi^\prime\), \(\cos \theta\) は常に正。\(\cos \tau\) も通常は正であり、南北二差は基本的には太陽赤緯 \(\delta_s\) の正負に従う値である。ただし、\(\cos \tau\) が負、つまり、6:00 以前や 18:00 以降の場合、符号が反転する。そして、6:00 以前や 18:00 以降で太陽が見えているということは、太陽赤緯は正（北）であるはずだから、つまり、そういう場合、南北二差は負となる。

南北一差  \(r \cos \phi^\prime \sin \theta \sin \tau\) はどうかというと、\(r \cos \phi^\prime\) は常に正なので、\(\theta\) と \(\tau\) の正負に従うのであり、赤白二経交角が正（西）か負（東）か、時刻が午後（正）か午前（負）かで、同符号なら正、異符号なら負の値となる。

そして、ここでは、南北二差と南北一差が、同符号の場合加え、異符号の場合減じている。つまり、両者を加算している。そして、全般的には南北二差の符号に従い、南北二差が負（太陽赤緯南）は「なほ加と為す」、正（太陽赤緯北）は「なほ減と為す」とし、これを南北汎差に加減しているので、つまり、南北一差と二差を加算した南北加減差を、南北汎差から減算しているのである。二差・一差が異符号で、一差の絶対値の方が大きい（「減に足らざれば」）ときは、符号を反転する。

ただし、一点、問題が。「太陽距午赤道度九十度を過ぐれば」のとき、つまり、\(\cos \tau\) が負で、南北二差が負となるとき。このときも、太陽赤緯南で南北二差が負の場合と同様に計算すればよいはずで、結果は基本的には南北二差の符号に従い負（「加」）、ただし、二差・一差が異符号で、一差の絶対値の方が大きいときは、正（「減」）となるはず。 しかし、条文の記載を見ると、二差・一差が異符号のとき、「なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す」、つまり、どちらの絶対値が大きいかに関わらず正（「減」）だとしており、不審。

近時の「視緯の正弦」「視距弧の正弦」

求近時実距弧之正弦「以一小時分為一率、簡平月所在一小時両経斜距之正弦為二率、近時距分為三率（如無近時距分、則無実距弧之正弦）、求得四率為近時実距弧之正弦（近時大於食甚用時、則為緯東、小於食甚用時、則為緯西）」
一小時分を以って一率と為し、簡平月所在一小時両経斜距の正弦、二率と為し、近時距分、三率と為し（もし近時距分無ければ、則ち実距弧の正弦無し）、求めて得る四率、近時実距弧の正弦と為す（近時、食甚用時より大なれば、則ち緯東と為し、食甚用時より小なれば、則ち緯西と為す）。
求近時視距弧之正弦「置近時実距弧之正弦、加減近時東西差、得近時視距弧之正弦（限東緯東、則加仍為東。緯西、則減仍為西。東西差大、則反減、変為東。限西緯西、則加仍為西。緯東、則減仍為東。東西差大、則反減、変為西。如無東西差、則実距弧之正弦即視距弧之正弦、東西随実距弧之正弦。如無実距弧之正弦、則東西差即視距弧之正弦。限東為緯東、限西為緯西）」
近時実距弧の正弦を置き、近時東西差を加減し、近時視距弧の正弦を得（限東緯東、則ち加へなほ東と為す。緯西、則ち減じなほ西と為す。東西差大なれば、則ち反減し、変じて東と為す。限西緯西、則ち加へなほ西と為す。緯東、則ち減じなほ東と為す。東西差大なれば、則ち反減し、変じて西と為す。もし東西差無ければ、則ち実距弧の正弦、即、視距弧の正弦、東西は実距弧の正弦に随ふ。もし実距弧の正弦無ければ、則ち東西差、即、視距弧の正弦。限東は緯東と為し、限西は緯西と為す）。
求近時視緯之正弦「置簡平食甚実緯之正弦、加減近時南北差、得近時視緯之正弦（食甚実緯南則加仍為南、北則減仍為北。如南北差大、則反減、変為南。如無食甚実緯、則南北差即視緯之正弦、仍為南。如無南北差、則簡平食甚実緯之正弦即視緯之正弦、南北随食甚実緯）」
簡平食甚実緯の正弦を置き、近時南北差を加減し、近時視緯の正弦を得（食甚実緯、南則ち加へなほ南と為し、北則ち減じなほ北と為す。もし南北差大なれば、則ち反減し、変じて南と為す。もし食甚実緯無ければ、則ち南北差、即、視緯の正弦、なほ南と為す。もし南北差無ければ、則ち簡平食甚実緯の正弦、即、視緯の正弦、南北は食甚実緯に随ふ）。
\[ \begin{align}
\text{実距弧の正弦}(@\text{近時}) &= \text{近時距分} \times \text{簡平月所在一小時両経斜距の正弦} \times 24_\text{時/日} \\
\text{視距弧の正弦}(@\text{近時}) &= \text{実距弧の正弦}(@\text{近時}) - \text{東西差}(@\text{近時}) \\
\text{視緯の正弦}(@\text{近時}) &= \text{簡平食甚実緯の正弦} - \text{南北差}(@\text{近時})
\end{align} \]

地球輪における観測者位置の座標は、\((X, Y) = (\text{東西差}, \text{南北差})\) である。

一方、月（の射影）はというと、食甚用時において、「簡平食甚実緯の正弦」だけ原点（地心）の真上（Y軸方向）にあり、真左から真右に「簡平月所在一小時両経斜距の正弦」のスピードで動く。よって、月射影の Y 座標は常に「簡平食甚実緯の正弦」、X 座標は速度「簡平月所在一小時両経斜距の正弦」に、食甚用時からの時間差を掛けたものとして求められる。よって、月射影の座標は、\((X, Y) = (\text{実距弧の正弦}, \text{簡平食甚実緯の正弦})\) である。

地心を O, 観測者を P, 月射影を M とするとき、観測者から見た月射影の相対位置 \(\overrightarrow{\mathrm{PM}}\) は、

\[ \begin{align}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &= \left( \begin{array} \\ \text{東西差} \\ \text{南北差} \\ \end{array} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{OM}} &= \left( \begin{array} \\ \text{実距弧の正弦} \\ \text{簡平食甚実緯の正弦} \\ \end{array} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{PM}} &= \overrightarrow{\mathrm{OM}} - \overrightarrow{\mathrm{OP}} \\
&= \left( \begin{array} \\ \text{実距弧の正弦} - \text{東西差} \\ \text{簡平食甚実緯の正弦} - \text{南北差} \\ \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array} \\ \text{視距弧の正弦} \\ \text{視緯の正弦} \\ \end{array} \right)
\end{align} \]
として表現することが出来る。これが「視距弧の正弦」「視緯の正弦」である。

前回述べたとおり、「○○の正弦」というのは \(\sin(\text{○○})\) の意味ではなく、太陽から地球輪を見たときにおいて、地球輪の半径を 1 として測った何らかのモノの長さである。

食甚用時において、月射影の座標（実距弧の正弦）は求めておらず、相対位置「視距弧の正弦」「視緯の正弦」も計算していなかった。東西方向のずれを算出するとき、食甚用時の実距弧の正弦はゼロであるので計算するまでもない。そして、近時・設時を求めるのに、南北方向のずれは使用しない（使用していなくもないが、非常に例外的なケースにしか使用しない）ので、条文上「視緯の正弦」の計算式は出て来なかったのである。

例によって、加減算を行うときに、正負の概念を用いずに記述しているためまどろっこしい。

新法暦書の記述において「東西差」は、観測者 P が地心より東にあるとき「限西」とし、地心より西にあるとき「限東」とする。いわば、観測者 P から見て地心が東か西かで書いてあると言ってもよい。一方、「実距弧の正弦」は、月射影 M が地心より東にあるとき「緯東」、西にあるとき「緯西」。当ブログの式では、どちらも地心より東を正とする。
当ブログの式では、「実距弧の正弦」から「東西差」を引いて「視距弧の正弦」を求めているわけだが、「実距弧の正弦」と「－東西差」を足して、「視距弧の正弦」を求めているのだと考えればわかりやすいかも知れない。「実距弧の正弦」と「－東西差」がどちらも正（緯東・限東）、どちらも負（緯西・限西）なら、絶対値を加え、結果の東西はもとの値の東西による。異符号なら、絶対値を減算し、結果の東西は絶対値が大きい方の東西による、と計算しているのだと考えれば、新法暦書の条文が理解しやすいだろう。

「視緯の正弦」の算出のところでは、日本が北半球にあるため「南北差」は必ず正（北）だということを理解しておく必要がある。 「簡平食甚実緯の正弦」と「南北差」の差分により「視緯の正弦」を算出するとき、「簡平食甚実緯の正弦」が南なら、両者の差分は絶対値の和となり、「簡平食甚実緯の正弦」が北なら、両者の差分は絶対値の差となる。そして、「視緯の正弦」が正（北）となるのは、「簡平食甚実緯の正弦」が正（北）で、なおかつ、「南北差」より北（絶対値が大きい）の場合のみである。

近時の両心視相距

求近時視距弧両心視相距交角「以近時視距弧之正弦為一率、近時視緯之正弦為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得近時視距弧両心視相距交角（如無視距弧之正弦、則視緯之正弦、即両心視相距之正弦。如無視緯之正弦、則視距弧之正弦即両心視相距之正弦。如無視距弧之正弦及視緯之正弦、則日月両心相合無視相距、食甚近時即真時）」
近時視距弧の正弦を以って一率と為し、近時視緯の正弦、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ近時視距弧両心視相距交角を得（もし視距弧の正弦無ければ、則ち視緯の正弦、即ち両心視相距の正弦。もし視緯の正弦無ければ、則ち視距弧の正弦即ち両心視相距の正弦。もし視距弧の正弦及び視緯の正弦無ければ、則ち日月両心相合し、視相距無く、食甚近時即ち真時）。
求近時両心視相距之正弦「以近時視距弧両心視相距交角之正弦為一率、半径為二率、近時視緯之正弦為三率、求得四率為近時両心視相距之正弦」
近時視距弧両心視相距交角の正弦を以って一率と為し、半径、二率と為し、近時視緯の正弦、三率と為し、求めて得る四率、近時両心視相距の正弦と為す。
\[ \begin{align}
\text{視距弧両心視相距交角}(@\text{近時}) &= \tan^{-1} {\text{視緯の正弦}(@\text{近時}) \over \text{視距弧の正弦}(@\text{近時})} \\
\text{両心視相距の正弦}(@\text{近時}) &= \sqrt{(\text{視距弧の正弦}(@\text{近時}))^2 + (\text{視緯の正弦}(@\text{近時}))^2}
\end{align} \]

「視距弧両心視相距交角」は、ベクトル \(\overrightarrow{\mathrm{PM}}\) の傾きである。

「視距弧」つまり、X軸に平行な線と、「両心視相距」つまり、観測者と月とを結ぶ線 PM との交角。当ブログの式においては、観測者から見て X軸正（東）の方向を 0° として、月 M がある方向を反時計回りに測った角であると定義しよう。とすれば、ATAN2 により
\[ \text{視距弧両心視相距交角} = \tan^{-1} {\text{視緯の正弦} \over \text{視距弧の正弦}} \]
と計算すれば、そのように求まるはずである。

「両心視相距の正弦」とは、観測者 P と月射影 M の距離。線分 PM の長さである。「両心視相距の正弦」と呼んでいるのは、なぜか。前々回に述べたように「簡平地平高下差の正弦」の換算レートで換算してやると、「正弦」つまり地球輪内における長さを、「太陽から見て地球輪のその長さに射影されるような月近辺における線分を、地球から見たときには、いかほどの視角で見えるか」という値に変換することができる。

地球輪における観測者の位置を P、月射影を M’ とする。そして、実際の月を M とし、観測者 P と太陽 S を結ぶ線分上にあって、月近辺の距離にある点を S’ とする。太陽から見て地球輪の PM' に射影されるような、月近辺における線分は、S'M であるが、それを、観測者 P から見たときの視角が、∠MPS' である。これは、∠MPS に等しい。∠MPS は、観測者 P から観測したときの（つまり視差を考慮した）、月と太陽の視距離、つまり「両心視相距」である。 

つまり、「両心視相距の正弦」は、地球輪における観測者と月射影との距離なのだが、それを、 「簡平地平高下差の正弦」の換算レートで換算してやることにより、月と太陽の視距離「両心視相距」に換算できる長さである。「両心視相距」に対応する地球輪内における長さ「正弦」なので、「両心視相距の正弦」なのだ。

「太陽から見た、観測者と月の距離」だったはずのものが「観測者から見た、太陽と月の距離」に化けてしまうのは不思議な感じがするかもしれないが、要するに、太陽と観測者を結ぶ直線 SP から月 M がどれだけ離れているのかを示すものだと考えれば理解しやすいかもしれない。直線 SP は、太陽にとっては観測者のある方向、観測者にとっては太陽のある方向であり、それと月との距離なのである。

\[ \begin{align}
\sin(\text{視距弧両心視相距交角}) &= {\text{視緯の正弦} \over \text{両心視相距の正弦}} \\
\cos(\text{視距弧両心視相距交角}) &= {\text{視距弧の正弦} \over \text{両心視相距の正弦}}
\end{align} \]
であり、新法暦書の条文どおりには、
\[ \text{両心視相距の正弦} =  {\text{視緯の正弦} \over \sin(\text{視距弧両心視相距交角})} \]
として算出している。が、これだと視距弧両心視相距交角が、0°, 180°のとき（視緯の正弦がゼロのとき）にゼロ除算となってしまう。新法暦書としては「もし視緯の正弦無ければ、則ち視距弧の正弦即ち両心視相距の正弦」と、場合わけして書いてあるから問題ないのだろうが、場合わけしなくてもいいように、三平方の定理で、
\[ \text{両心視相距の正弦} = \sqrt{(\text{視距弧の正弦})^2 + (\text{視緯の正弦})^2} \]
という式にリライトしておいた。

食甚設時の位置計算

推食甚設時両心視相距第十
求設時太陽距午赤道度「以食甚設時与半周日相減、余数変赤道度、得設時太陽距午赤道度（設時不及半周日、則為午前、過半周日、則為午後。如太陽在正午、無距午赤道度、則無赤道東西差、南北法数即赤道南北差）」
食甚設時を以って半周日と相減じ、余数、赤道度に変じ、設時太陽距午赤道度を得（設時、半周日に及ばざれば、則ち午前と為し、半周日を過ぐれば、則ち午後と為す。もし太陽、正午に在り、距午赤道度無ければ、則ち赤道東西差無く、南北法数即ち赤道南北差）。
求設時赤道東西差「以半径為一率、設時距午赤道度之正弦為二率、東西原数為三率、求得四率為設時赤道東西差」
半径を以って一率と為し、設時距午赤道度の正弦、二率と為し、東西原数、三率と為し、求めて得る四率、設時赤道東西差と為す。
求設時赤道南北差「以半径為一率、設時太陽距午赤道度之余弦為二率、南北法数為三率、求得四率為設時赤道南北差」
半径を以って一率と為し、設時太陽距午赤道度の余弦、二率と為し、南北法数、三率と為し、求めて得る四率、設時赤道南北差と為す。
求設時東西汎差「以半径為一率、赤白二経交角之余弦為二率、設時赤道東西差為三率、求得四率為設時東西汎差（如無赤白二経交角、則無東西汎差）」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の余弦、二率と為し、設時赤道東西差、三率と為し、求めて得る四率、設時東西汎差と為す（もし赤白二経交角無ければ、則ち東西汎差無し）。
求設時東西二差「以半径為一率、赤白二経交角之正弦為二率、設時赤道南北差為三率、求得四率為設時東西二差（如無赤白二経交角、則無東西二差）」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の正弦、二率と為し、設時赤道南北差、三率と為し、求めて得る四率、設時東西二差と為す（もし赤白二経交角無ければ、則ち東西二差無し）。
求設時東西加減差「以東西一差与設時東西二差相加減（太陽赤道緯度南則相加、北則相減。如太陽距午赤道度過九十度、則相加）、得設時東西加減差」
東西一差を以って設時東西二差と相加減し（太陽赤道緯度南は則ち相加へ、北は則ち相減ず。もし太陽距午赤道度九十度を過ぐれば、則ち相加ふ）、設時東西加減差を得。
求設時東西差「置設時東西汎差、加減設時東西加減差、得設時東西差（設時午前者、赤白二経交角、東則加、西則減、仍為限東。不足減者、反減、変為限西。設時午後者、赤白二経交角、東則減、西則加、仍為限西。不足減者、反減、変為限東。如両数相等而減尽無余、則太陽正当白平象限、無東西差。又、無赤白二経交角、則赤道東西差即東西差）」
設時東西汎差を置き、設時東西加減差を加減し、設時東西差を得（設時午前は、赤白二経交角、東は則ち加へ、西は則ち減じ、なほ限東と為す。減に足らざれば、反減し、変じて限西と為す。設時午後は、赤白二経交角、東は則ち減じ、西は則ち加へ、なほ限西と為す。減に足らざれば、反減し、変じて限東と為す。もし両数相等しくて減じ尽し余り無ければ、則ち太陽まさに白平象限に当り、東西差無し。又、赤白二経交角無ければ、則ち赤道東西差即ち東西差）。
求設時南北一差「以半径為一率、赤白二経交角之正弦為二率、設時赤道東西差為三率、求得四率為設時南北一差（如無赤白二経交角、則無南北一差及二差）」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の正弦、二率と為し、設時赤道東西差、三率と為し、求めて得る四率、設時南北一差と為す（もし赤白二経交角無ければ、則ち南北一差及び二差無し）。
求設時南北二差「以半径為一率、赤白二経交角之余弦為二率、設時赤道南北差為三率、求得四率為設時南北二差」
半径を以って一率と為し、赤白二経交角の余弦、二率と為し、設時赤道南北差、三率と為し、求めて得る四率、設時南北二差と為す。
求設時南北加減差「置設時南北二差、加減設時南北一差、得設時南北加減差（太陽赤道緯度南、赤白二経交角東者、設時午前則減、午後則加。赤白二経交角西者、設時午前則加、午後則減、仍為加。不足減者、反減、変為減。太陽赤道緯度北、赤白二経交角東者、設時午前則加、午後則減。赤白二経交角西者、設時午前則減、午後則加、仍為減。不足減者、反減、変為加。如太陽距午赤道度過九十度者、赤白二経交角東、設時午前則減、仍為減。不足減者、反減、亦為減。午後則加、仍為加。赤白二経交角西、設時午前則加、仍為加。午後則減、仍為減。不足減者、反減、亦為減。如両数相等而減尽無余、則南北汎差即南北差）」
設時南北二差を置き、設時南北一差を加減し、設時南北加減差を得（太陽赤道緯度南は、赤白二経交角東は、設時午前則ち減じ、午後則ち加ふ。赤白二経交角西は、設時午前則ち加へ、午後則ち減じ、なほ加と為す。減に足らざれば、反減し、変じて減と為す。太陽赤道緯度北は、赤白二経交角東は、設時午前則ち加へ、午後則ち減ず。赤白二経交角西は、設時午前則ち減じ、午後則ち加へ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、変じて加と為す。もし太陽距午赤道度九十度を過ぐれば、赤白二経交角東は、設時午前則ち減じ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す。午後則ち加へ、なほ加と為す。赤白二経交角西は、設時午前則ち加へ、なほ加と為す。午後則ち減じ、なほ減と為す。減に足らざれば、反減し、また減と為す。もし両数相等しくて減じ尽し余り無ければ、則ち南北汎差即ち南北差）。
求設時南北差「置南北汎差、加減設時南北加減差、得設時南北差（如無南北一差及二差、則赤道南北差即南北差）」
南北汎差を置き、設時南北加減差を加減し、設時南北差を得（もし南北一差及び二差無ければ、則ち赤道南北差即ち南北差）。
求設時実距弧之正弦「以一小時分為一率、簡平月所在一小時両経斜距之正弦為二率、設時距分為三率、求得四率為設時実距弧之正弦（設時大於食甚用時、則為緯東、小於食甚用時、則為緯西）」
一小時分を以って一率と為し、簡平月所在一小時両経斜距の正弦、二率と為し、設時距分、三率と為し、求めて得る四率、設時実距弧の正弦と為す（設時、食甚用時より大なれば、則ち緯東と為し、食甚用時より小なれば、則ち緯西と為す）。
求設時視距弧之正弦「置設時実距弧之正弦、加減設時東西差、得設時視距弧之正弦（限東緯東、則加仍為東。緯西、則減仍為西。東西差大、則反減、変為東。限西緯西、則加仍為西。緯東、則減仍為東。東西差大、則反減、変為西。如無東西差、則実距弧之正弦即視距弧之正弦、東西随実距弧之正弦。如無実距弧之正弦、則東西差即視距弧之正弦。限東為緯東、限西為緯西）」
設時実距弧の正弦を置き、設時東西差を加減し、設時視距弧の正弦を得（限東緯東、則ち加へなほ東と為す。緯西、則ち減じなほ西と為す。東西差大なれば、則ち反減し、変じて東と為す。限西緯西、則ち加へなほ西と為す。緯東、則ち減じなほ東と為す。東西差大なれば、則ち反減し、変じて西と為す。もし東西差無ければ、則ち実距弧の正弦、即、視距弧の正弦、東西は実距弧の正弦に随ふ。もし実距弧の正弦無ければ、則ち東西差、即、視距弧の正弦。限東は緯東と為し、限西は緯西と為す）。
求設時視緯之正弦「置簡平食甚実緯之正弦、加減設時南北差、得設時視緯之正弦（食甚実緯南則加仍為南、北則減仍為北。如南北差大、則反減、変為南。如無食甚実緯、則南北差即視緯之正弦、仍為南。如無南北差、則簡平食甚実緯之正弦即視緯之正弦、南北随食甚実緯）」
簡平食甚実緯の正弦を置き、設時南北差を加減し、設時視緯の正弦を得（食甚実緯、南則ち加へなほ南と為し、北則ち減じなほ北と為す。もし南北差大なれば、則ち反減し、変じて南と為す。もし食甚実緯無ければ、則ち南北差、即、視緯の正弦、なほ南と為す。もし南北差無ければ、則ち簡平食甚実緯の正弦、即、視緯の正弦、南北は食甚実緯に随ふ）。
求設時視距弧両心視相距交角「以設時視距弧之正弦為一率、設時視緯之正弦為二率、半径為三率、求得四率為正切線、検表得設時視距弧両心視相距交角（如無視距弧之正弦、則視緯之正弦、即両心視相距之正弦。如無視緯之正弦、則視距弧之正弦即両心視相距之正弦。如無視距弧之正弦及視緯之正弦、則日月両心相合無視相距、食甚設時即真時）」
設時視距弧の正弦を以って一率と為し、設時視緯の正弦、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、正切線と為し、表を検じ設時視距弧両心視相距交角を得（もし視距弧の正弦無ければ、則ち視緯の正弦、即ち両心視相距の正弦。もし視緯の正弦無ければ、則ち視距弧の正弦即ち両心視相距の正弦。もし視距弧の正弦及び視緯の正弦無ければ、則ち日月両心相合し、視相距無く、食甚設時即ち真時）。
求設時両心視相距之正弦「以設時視距弧両心視相距交角之正弦為一率、半径為二率、設時視緯之正弦為三率、求得四率為設時両心視相距之正弦」
設時視距弧両心視相距交角の正弦を以って一率と為し、半径、二率と為し、設時視緯の正弦、三率と為し、求めて得る四率、設時両心視相距の正弦と為す。
\[ \begin{align}
\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時}) &= {360° \over 1_\text{日}} (\text{食甚設時} - 0.5_\text{日}) \\
\text{赤道東西差}(@\text{設時}) &= \text{東西原数} \sin(\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時})) \\
\text{赤道南北差}(@\text{設時}) &= \text{南北法数} \cos(\text{太陽距午赤道度}(@\text{設時})) \\
\text{東西汎差}(@\text{設時}) &= \text{赤道東西差}(@\text{設時}) \cos(\text{赤白二経交角}) \\
\text{東西二差}(@\text{設時}) &= \text{赤道南北差}(@\text{設時}) \sin(\text{赤白二経交角}) \\
\text{東西加減差}(@\text{設時}) &= \text{東西一差} - \text{東西二差}(@\text{設時}) \\
\text{東西差}(@\text{設時}) &= \text{東西汎差}(@\text{設時}) + \text{東西加減差}(@\text{設時}) \\
\text{南北一差}(@\text{設時}) &= \text{赤道東西差}(@\text{設時}) \sin(\text{赤白二経交角}) \\
\text{南北二差}(@\text{設時}) &= \text{赤道南北差}(@\text{設時}) \cos(\text{赤白二経交角}) \\
\text{南北加減差}(@\text{設時}) &= \text{南北二差}(@\text{設時}) + \text{南北一差}(@\text{設時}) \\
\text{南北差}(@\text{設時}) &= \text{南北汎差} - \text{南北加減差}(@\text{設時}) \\
\text{実距弧の正弦}(@\text{設時}) &= \text{設時距分} \times \text{簡平月所在一小時両経斜距の正弦} \times 24_\text{時/日} \\
\text{視距弧の正弦}(@\text{設時}) &= \text{実距弧の正弦}(@\text{設時}) - \text{東西差}(@\text{設時}) \\
\text{視緯の正弦}(@\text{設時}) &= \text{簡平食甚実緯の正弦} - \text{南北差}(@\text{設時}) \\
\text{視距弧両心視相距交角}(@\text{設時}) &= \tan^{-1} {\text{視緯の正弦}(@\text{設時}) \over \text{視距弧の正弦}(@\text{設時})} \\
\text{両心視相距の正弦}(@\text{設時}) &= \sqrt{(\text{視距弧の正弦}(@\text{設時}))^2 + (\text{視緯の正弦}(@\text{設時}))^2}
\end{align} \]

近時における計算とまったく同じ。

次回は、漸近計算により真の食甚時刻を求めていく。

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[参考文献]

渋川 景祐; 足立 信頭「新法暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵

渋川 景祐; 足立 信行「新法暦書続編」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵