寛政暦の月食法の説明の続き。
前回までのところで、食甚・初虧・復円・食既・生光の各時刻の算出、食甚食分・出入時食分の算出まで説明し終わった。今回は、方向角の算出を行う。
方向角とはなにかというと、月輪のうち、かけはじめる箇所の方向、最後までかけ残っている箇所の方向を示すもの。これは、月から見て地球影がある方向であると言える。寛政暦・天保暦の日月食記事においては、天頂方向を「上」、天底方向を「下」とする上下左右十六方位で示される。
- ちなみに、現在の暦要項の日月食記事においては、天頂方向を 0° とし、反時計回り（左が 90°、下が 180°、右が 270°）の角度で示されている。
貞享暦・宝暦暦においては、かなり簡易的・定性的に求めているため正確なものではないが、概ね黄道北極方向を北とするような東西南北八方位で示されていた。 日月食を見る人にとって見れば、黄道北極方向がどっちかなんてわからない (※) ので、随分と不親切な記載方法である。
-
(※)
赤道北極ならまだ「北極星のあるほう」でわかるだろうが、黄道北極ベースで言われてもねえ。南中ごろだと「北」はだいたい上の方なのかなあ、月出/日出ごろだと「北」は左上の方なのかなあ、なんてイメージがわかるぐらい？
ちなみに、黄道北極は、りゅう座のキャッツアイ星雲 (NGC6543)
付近にあるらしい。知らないですよね、そんなの。
寛政暦・天保暦では、頒暦の日月食記事の記載では「上の方」「上の左」「上と左の間」などの十六方位で記載されている。だいぶわかりやすい記載方法になった。「上の方」のような書きぶりから大雑把な計算なのかと思われるかもしれないが、実際はきっちり定量的に求めていて、かなり大変な計算の結果求められている。方向角は、下記の角度を総計したものとして算出することが出来る。
-
赤経高弧交角
（月/地球影が乗っている赤経線方向が、天頂方向となす角） - 黄道赤経交角
（黄道が、月/地球影が乗っている赤経線方向となす角） - 黄道交実緯角
（食甚時の月と地球影とを結ぶ方向が、黄道となす角） -
併径交実緯角
（初虧・復円時の月と地球影とを結ぶ方向が、食甚時の月と地球影とを結ぶ方向となす角）
今回は、「1. 赤経高弧交角」「2. 黄道赤経交角」の算出まで。以降は次回に回す。
赤経高弧交角は、地球影から見て、天頂方向と赤道北極方向との角度差である。
月/地球影の日周運動（東から昇って西に沈む）において、時刻が夜半24:00 前（地球影の南中前）のときは東から昇っている途中で、夜半24:00過ぎ（地球影の南中後）のときは西に沈んでいる途中。日周運動の通り道は赤緯線なので、夜半24:00前の赤緯線は東下がり西上がり、夜半24:00後の赤緯線は東上がり西下がり。
とすると赤道北極方向へと向かう赤経線は、夜半24:00前は、天頂方向から東に（反時計回りに）ややずれ、夜半24:00後は、天頂方向から西に（時計回りに）ややずれていることになる。春秋分の日出入時とかであれば、京都の緯度が
35°.01 なので、\(\pm 54°.99 \)
程度傾いているはず。夜半24:00ちょうどでは地球影は水平に進み、赤緯線は水平なので、天頂方向と赤道北極方向とのずれはゼロである。
黄道赤経交角は、地球影から見ての赤道北極方向と、黄道との角度のずれである。
春分点付近の黄緯は南から北に進み、秋分点付近の黄緯は北から南に進む。また、黄経は黄道に沿って、北極側から見て反時計回りに（西から東へ）進む。よって、春分点付近の黄道は南西から北東へ、秋分点付近の黄緯線は北西から南東へ進むような傾きとなっているはず。
よって、赤道北極方向から反時計回りに黄道東側方向の角度を測ると、春分点付近では鋭角（黄道傾斜角を
23.5°とするなら、最小 66.5°）、秋分点付近では鈍角（最大
113.5°）となる。冬至点・夏至点付近では黄道は、赤緯線と水平になるため、直角となる。
黄道交実緯角は、黄道方向と、食甚時の月から見て地球影のある方向とのずれである。
これは概ね直角。昇交点後・降交点前の食では月が地球影の北（つまり、地球影が月の南）にあるため、黄道から南に（反時計回りに） 90° ずれた方向。降交点後・昇交点前の食では月が地球影の南（つまり、地球影が月の北）にあるため、黄道から北に（時計回りに）90° ずれた方向である。
しかし、正確に 90°
ずれた方向となるのは、食甚時ではなく実望時である。食甚時は実望時と比べて、交点通過時方向に若干ずれる。つまり、交点前の食では未来方向に、交点後の食では過去方向にずれる。食甚時の月は実望時の月と比べ、交点前の食ではやや東に、交点後の食ではやや西にあることになる。とすると、食甚時の月から見て地球影のある方向は、交点前の食では真北/真南よりやや西に（つまり、黄道交実緯角は
90°より 白道傾斜角の分の 5°
ほど大きく）、交点後の食では真北/真南よりやや東に（つまり、黄道交実緯角は 90°
より 5° ほど小さく）なる。
併経交実緯角は、食甚時の方向角と、初虧・復円時の方向角との角度ずれである。
この角度は、初虧・復円時の月・地球影の距離（つまり併径）を斜辺とし、食甚時の月・地球影の距離（つまり食甚実緯）を高さとする直角三角形の、斜辺と高さとの間の夾角として求められる。
といった感じで求められるわけだが、角度の正負（反時計回りの角度か時計回りの角度か）、鋭角・鈍角（内角か外角か）を慎重に考えないとバグの元なので要注意。
暦法新書（寛政）の月食法においては、最終的に
-
限東の初虧: 下（天底方向）を 0° として時計周りの角度（左が 90°）
（限東 = 黄道は左下がり右上がり）
-
限西の初虧: 上（天頂方向）を 0° として反時計周りの角度（左が 90°）
（限西 = 黄道は左上がり右下がり）
- 限東の復円: 上を 0° として時計周りの角度（右が 90°）
- 限西の復円: 下を 0° として反時計周りの角度（右が 90°）
の角度となるように求めている。
煩雑な場合わけを避けるため、このブログの式において方向角はすべて「上（天頂方向）を
0°
として反時計回りの角度」となるように求めることにする。これは、現在の暦要項の日月食の方向角の記載で使用されているものであり、それに合わせる。暦法新書の月食法における場合わけは複雑でパズルのようだが、計算を間違えないように慎重に進めていこう。
黄道赤経交角
推月食方位第八
求影距赤道度「以半径為一率、黄赤大距之正弦為二率、影距春秋分黄道経度（即太陽距春秋分黄道経度。但差六宮、春分為秋分、秋分為春分耳）之正弦為三率、求得四率為影距赤道度之正弦、検表得影距赤道度。太陽在春分後秋分前、影在赤道南。太陽在秋分後春分前、影在赤道北」
半径を以って一率と為し、黄赤大距の正弦、二率と為し、影距春秋分黄道経度（即ち太陽距春秋分黄道経度。但し、六宮を差し、春分、秋分と為し、秋分、春分と為すのみ）の正弦、三率と為し、求めて得る四率、影距赤道度の正弦と為し、表を検じ影距赤道度を得。太陽、春分後・秋分前に在れば、影、赤道南に在り。太陽、秋分後・春分前に在れば、影、赤道北に在り。
求黄道赤経交角（即黄道交極圏角）「以影距春秋分黄道経度之余弦為一率、黄赤大距之余切線為二率、半径為三率、求得四率為黄道赤経交角之正切線、検表得黄道赤経交角」
影距春秋分黄道経度の余弦を以って一率と為し、黄赤大距の余切線、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、黄道赤経交角の正切線と為し、表を検じ黄道赤経交角を得。
\[ \begin{align}
\text{影距春分黄道経度} &= \text{太陽距春分黄道経度}(@\text{実望実時}) + 180° \\
\text{影距赤道度} &= \sin^{-1} (\sin(\text{黄赤大距}) \sin(\text{影距春分黄道経度})) \\
\text{黄道赤経交角} &= \tan^{-1} {\cot(\text{黄赤大距}) \over \cos(\text{影距春分黄道経度})}
\end{align} \]
まずは黄道赤経交角。
「影距春分黄道経度」は、春分点起点の地球影の黄経。春分点起点の太陽黄経の 180° 裏側である。「影距赤道度」は、地球影の赤緯である（太陽の赤緯と符号（南北）が逆）。
春分点を点 A とし、地球影を点 B とし、地球影から赤道に下ろした垂線の足を点 C とする。球面三角形 ABC は、∠C = 90° の球面直角三角形である。直線 BC は赤道に対して垂直な大円であるから、赤道北極をとおる大円、すなわち、赤経線である。今求めたいのは、赤経線と黄道がなす角、図で赤矢印で示した角であり、これは ∠B に等しい。
∠C = 90° の球面直角三角形の公式、\(\cos c = \cot \angle A \cot \angle B\)
を使用する。
\[ \begin{align}
c &= \text{影距春分黄道経度} \\
\angle
A &= \text{黄赤大距} \\
\angle B &= \text{黄道赤経交角} \\
\cos(\text{影距春分黄道経度})
&= \cot(\text{黄赤大距}) \cot(\text{黄道赤経交角}) \\
\tan(\text{黄道赤経交角})
&= {\cot(\text{黄赤大距}) \over \cos(\text{影距春分黄道経度})}
\end{align}
\]
分子 \(\cot(\text{黄赤大距})\) は常に正、分母 \(\cos(\text{影距春分黄道経度})\)
は、春分点付近（冬至点～夏至点）で正、秋分点付近（夏至点～冬至点）で負、夏至点・冬至点のときゼロ。よって、ATAN2
で計算すれば、黄道赤経交角は、春分点付近では第 1
象限（正の鋭角）、秋分点付近では第 2 象限（正の鈍角）、夏至点・冬至点では 90°
となるはず。
-
「春分点付近」等というのは、地球影が春分点付近という意味。太陽は逆方向なので、季節としては秋である。
このブログの式において、黄道赤経交角は、赤道北極方向から反時計回りに黄道の前方（東側、左側）に対して測った角度（下図の赤矢印）として定義しようと思っているので、この値は妥当である。
一方で、暦法新書の計算においては、「影距春秋分黄道経度の余弦」は符号のない値として計算するので、結果得られる黄道赤経交角は、常に鋭角であることに留意しておこう。上の図で青矢印で示した角である。
春分点付近においては、このブログの式と同様、赤道北極方向から反時計回りに黄道前方に対して測った角となっている（同様に、赤道南極方向から反時計回りに黄道後方に対して測った角であるとも言える）。
が、秋分点付近においては、赤道北極方向から時計回りに黄道後方に対して測った角となる（同様に、赤道南極方向から時計回りに黄道前方に対して測った角であるとも言える）。
赤経高弧交角
求影距北極「置九十度、加減影距赤道度（影在赤道南則加、在赤道北則減）、得影距北極」
九十度を置き、影距赤道度を加減し（影、赤道南に在れば則ち加へ、赤道北に在れば則ち減ず）、影距北極を得。
求初虧復円影距正午赤道度「以初虧復円各距子正之時刻変赤道度（子正後者、則発虧復円時刻即為子正後之時刻、子正前者、則以初虧復円時刻与日周相減、余為距子正前之時刻。以日周為一率、周天為二率、距子正之時刻為三率、求得四率即赤道度。以時刻変赤道度法、後倣此）、得初虧復円影距正午各赤道度。初虧復円時刻在子正前者、影在正午東。在子正後者、影在正午西」
初虧復円各距子正の時刻を以って赤道度に変じ（子正後は、則ち発虧復円時刻即ち子正後の時刻と為し、子正前は、則ち初虧復円時刻を以って日周と相減じ、余り距子正前の時刻と為す。日周を以って一率と為し、周天、二率と為し、距子正の時刻、三率と為し、求めて得る四率、即ち赤道度。時刻を以って赤道度に変ずるの法、後、此に倣へ）、初虧復円影距正午各赤道度を得。初虧復円時刻、子正前に在れば、影、正午東に在り。子正後に在れば、影、正午西に在り。
求初虧復円赤経高弧交角「以北極距天頂為一辺、影距北極為一辺、初虧復円影距正午各赤道度為所夾之角、用斜弧三角形法。自天頂作垂弧、至赤道経圏、即成両正弧三角形。先、以半径為一率、影距正午各赤道度之余弦為二率、北極距天頂之正切線為三率、求得四率為距極分辺之正切線、検表得距極分辺。以距極分辺与影距北極相加減、為距影分辺（影距正午赤道度、不及九十度者、作垂弧於形内、則相減。過九十度者、作垂弧於形外、則相加。若距極分辺与影距北極等、赤経高弧交角為九十度）。次、半径為一率、影距正午各赤道度之正切線為二率、距極分辺之正弦為三率、求得四率為垂弧之正切線。又、以距影分辺之正弦為一率、垂弧之正切線為二率、半径為三率、求得四率為赤経高弧交角之正切線、検表得初虧復円赤経高弧各交角。若距極分辺転大於影距北極、則所得為外角、与半周相減、用其余（若子正初刻、影在正午、無影距正午赤道度、則赤経与高弧合、無交角。若影距正午赤道度為九十度、則北極距天頂即為垂弧、用正弧三角形法、以影距北極之正弦為一率、北極距天頂之正切線為二率、半径為三率、求得四率為赤経高弧交角之正切線、検表得赤経高弧交角。若影距正午赤道度為九十度、影距北極亦九十度、則北極距天頂度即赤経高弧交角度）」
北極距天頂を以って一辺と為し、影距北極、一辺と為し、初虧復円影距正午各赤道度、夾むところの角と為し、斜弧三角形法を用う。天頂より垂弧を作し、赤道経圏に至り、即ち両正弧三角形を成す。先ず、半径を以って一率と為し、影距正午各赤道度の余弦、二率と為し、北極距天頂の正切線、三率と為し、求めて得る四率、距極分辺の正切線と為し、表を検じ距極分辺を得。距極分辺を以って影距北極と相加減し、距影分辺と為す（影距正午赤道度、九十度に及ばざれば、垂弧を形内に作し、則ち相減ず。九十度を過ぐれば、垂弧を形外に作し、則ち相加ふ。もし距極分辺と影距北極、等しければ、赤経高弧交角、九十度を為す）。次に、半径、一率と為し、影距正午各赤道度の正切線、二率と為し、距極分辺の正弦、三率と為し、求めて得る四率、垂弧の正切線と為す。又、距影分辺の正弦を以って一率と為し、垂弧の正切線、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、赤経高弧交角の正切線と為し、表を検じ初虧復円赤経高弧各交角を得。もし距極分辺、転じて影距北極より大なれば、則ち得るところ外角と為し、半周と相減じ、其の余りを用う（もし子正初刻にして、影、正午に在り、影距正午赤道度無ければ、則ち赤経と高弧、合し、交角無し。もし影距正午赤道度、九十度と為し、則ち北極距天頂、即ち垂弧と為せば、正弧三角形法を用ゐ、影距北極の正弦を以って一率と為し、北極距天頂の正切線、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、赤経高弧交角の正切線と為し、表を検じ赤経高弧交角を得。もし影距正午赤道度、九十度と為し、影距北極、また九十度なれば、則ち北極距天頂度、即ち赤経高弧交角度）。
《時刻 = 初虧時刻、復円時刻、それぞれについて》
\[ \begin{align}
\text{北極距天頂} &= 90° - \text{北極高度} \\
\text{影距北極} &= 90° - \text{影距赤道度} \\
\text{影距正午赤道度} &= {360° \over 1_\text{日}} \times ((\text{時刻} + 0.5_\text{日}) \mod 1_\text{日} - 0.5_\text{日}) \\
\text{距極分辺} &= \tan^{-1} (\cos(\text{影距正午赤道度}) \tan(\text{北極距天頂})) \\
\text{距影分辺} &= \text{影距北極} - \text{距極分辺} \\
\text{垂弧} &= \sin^{-1}(\sin(\text{影距正午赤道度}) \sin(\text{北極距天頂})) \\
\text{赤経高弧交角} &= - \tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距影分辺})}
\end{align} \]
次に赤経高弧交角を計算する。これは、地球影を通る赤経線（地球影から見て赤道北極の方向の線）が、地球影を通る鉛直線（地球影から見て天頂のある方向の線）となす角である。天頂をとおる大円（鉛直線。地平座標系のタテ線）を「高弧」と呼んでいるようである。もっとも天高い場所（天頂）を通る弧（大円）ということであろう。
この計算にあたり、天頂・赤道北極・地球影の 3 点を結ぶ球面三角形を考える。
赤道北極と天頂とを結ぶ線は、子午線であり、地点緯度（北極高度）を \(\phi\) とするとき、赤道北極と天頂との間の距離（北極距天頂）は \(90° - \phi\) である。
天頂と地球影とを結ぶ線は、地球影を通る鉛直線（高弧）である。
赤道北極と地球影とを結ぶ線は、地球影を通る赤経線であり、赤道北極と地球影との間の距離（影距北極）は、地球影の赤緯（影距赤道度）を \(\delta\) とすると、\(90° - \delta\) である。
地球影が通る赤経線が子午線となす角（影距正午赤道度）は、すなわち、地球影の時角である。地球影は、真太陽時の夜半
24:00 に南中するので、初虧なり復円なりの求めたい時刻（真太陽時）の夜半 24:00
との時間差を求めて、\(\dfrac{360°}{1_\text{日}}\)
の換算レートで換算すれば求めることが出来る。このブログの式では、夜半 24:00
前はマイナス、後はプラスの値となるようにしておく。
ここまでの情報が揃ったところで、球面三角法を用いて、高弧と赤経線とがなす角、赤経高弧交角を求める。
天頂から赤経線（「赤道経圏」）に垂線「垂弧」を下ろす。影距北極の線分のうち、赤道北極と垂線の足との間の線分の長さを「距極分辺」、垂線の足と地球影との間の線分の長さを「距影分辺」とする。
まず、赤道北極、天頂、垂線の足の 3 点を結ぶ球面直角三角形を考える。\(\angle
\mathrm{C}\) を直角とする球面直角三角形の公式 \(\tan b = \cos \angle
\mathrm{A} \tan c\) により、
\[ \tan(\text{距極分辺}) = \cos(\text{影距正午赤道度})
\tan(\text{北極距天頂}) \]
である。
影距北極から距極分辺を引けば、距影分辺が求まる。ここで、「影距正午赤道度、九十度に及ばざれば、垂弧を形内に作し、則ち相減ず。九十度を過ぐれば、垂弧を形外に作し、則ち相加ふ」との記載がある。影距正午赤道度が鈍角の場合、垂線の足は、影距北極の線分上ではなく、赤道北極の向こう側に落ちることを「垂弧を形外に作し」と言っているわけである。この場合、距極分辺はマイナスの長さになり、距影分辺は影距北極よりも長くなる。暦法新書の計算では数値の符号を意識しないためこのような場合わけが必要になるわけだが、このブログの式によれば、影距正午赤道度が鈍角の場合、\(\cos({影距正午赤道度})\) が負となるため、距極分辺も負の長さとして求まり、自然にそういう計算ができるはずである。
そして、また、別の球面直角三角形の公式 \(\tan a = \tan \angle \mathrm{A} \sin
b\) により、
\[ \tan(\text{垂弧}) = \tan(\text{影距正午赤道度})
\sin(\text{距極分辺}) \]
である。
この箇所で「求めて得る四率、垂弧の正切線と為す」と記載されている。一般にこういう場合、「求めて得る四率、垂弧の正切線と為し、表を検じ垂弧を得」のような記載とするのが通常だが、この記載になっているのは、この後の計算では垂弧のタンジェントを使うのであって、垂弧の長さ自体は求める必要がないからである。
\(\tan(\text{影距正午赤道度})\) は、距正午赤道度が第 1, 3 象限のとき正、第 2, 4 象限のとき負。距極分辺、および、\(\sin(\text{距極分辺})\) は、影距正午赤道度が鈍角、つまり、第 2, 3 象限のとき負なので、\(\tan(\text{垂弧})\) は、影距正午赤道度が正（第 1, 2 象限）のとき正で、負（第 3, 4 象限）のとき負となる。
……なのだが、当ブログの式では、別の球面直角三角形の公式（正弦定理）\(\sin a =
\sin \angle \mathrm{A} \sin c \) を用いて、
\[ \sin(\text{垂弧}) =
\sin(\text{影距正午赤道度}) \sin(\text{北極距天頂}) \]
とした。この理由は後ほど述べる。なお、この式でも同様に、垂弧、および
\(\tan(\text{垂弧})\) は、影距正午赤道度が正（第 1, 2 象限）のとき正で、負（第 3, 4
象限）のとき負となるはずである。
最後に、地球影、天頂、垂線の足を結ぶ球面直角三角形を考え、\(\angle
\mathrm{C}\) を直角とする球面直角三角形の公式 \(\tan a = \tan \angle
\mathrm{A} \sin b \) により、
\[ \begin{align}
\tan(\text{垂弧}) &=
\tan(\text{赤経高弧交角}) \sin(\text{距影分辺}) \\
\tan(\text{赤経高弧交角})&=
{\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距影分辺})}
\end{align} \]
として赤経高弧交角が求められる。
が、このブログでは、最終的に方向角を「天頂方向を 0° として反時計回りの角度」として算出することにしている。なので、赤経高弧交角も、地球影から見た赤道北極の方向を、「 天頂方向を 0° として反時計回りの角度」として求めたく、これは、地球影の南中前は正、南中後は負の角度として求められるべきだが、\(\tan(\text{赤経高弧交角}) = {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距影分辺})}\) として求めると、符号が逆になってしまうので、符号を反転させておく。
また、\(\sin(\text{距影分辺})\) の正負についても考えておこう。
\( \tan(\text{距極分辺}) = \cos(\text{影距正午赤道度}) \tan(\text{北極距天頂}) \)
であり、地球影の南中時（影距正午赤道度
= 0°）に、距極分辺は最大値となって、北極距天頂と等しくなる。京都（地点緯度
35°.01）において北極距天頂は、\(90° - 35°.01 =
54°.99\)。一方、影距北極の長さはというと、黄道傾斜角を 23°.5
とするなら、地球影が夏至点にある（太陽が冬至点にある）とき最小の \(90° - 23°.5
= 66°.5\) で、冬至点にあるとき最大の 113°.5 である。よって、\(\text{距極分辺} \leqq
\text{北極距天頂} \lt \text{影距北極}\)
であるから、距影分辺は正の長さであり、\(\sin(\text{距影分辺})\) も正となる。
が、これは京都での場合だ。北回帰線以南の熱帯地方だとすると、北極距天頂が、夏至点付近の地球影の影距北極より大きくなり得る。地球影南中あたりの時刻だと、距極分辺が影距北極より大きくなって距影分辺の長さがマイナスになる。これは、垂線の足が、影距北極の線分上ではなく、地球影よりも南に落ちるということだから、赤経高弧交角が鈍角になるということである。熱帯地方においては、南中時に天頂の南ではなく、天頂の北（赤道北極と天頂の間）を通っていくことがある。天頂の南に南中するのであれば、地球影から見て、天頂と赤道北極は同じ方向（北）にあるわけだから、赤経高弧交角は 0° になるが、赤道北極と天頂の間を通って南中するのであれば、地球影から見て、天頂は南・赤道北極は北と逆方向になるから、赤経高弧交角は 180° となる。南中前後の時刻においては、赤経高弧交角は鈍角となっているはずなのである。
これらに基づいて、赤経高弧交角の象限を考えると、
-
南中前（影距正午赤道度が負）のとき:
赤経高弧交角は正（反時計回り）の鋭角、つまり第 1 象限
- ただし、距影分辺が負のとき: 赤経高弧交角は正（反時計回り）の鈍角、つまり第 2 象限
-
南中後（影距正午赤道度が正）のとき:
赤経高弧交角は負（時計回り）の鋭角、つまり第 4 象限
- ただし、距影分辺が負のとき: 赤経高弧交角は負（時計回り）の鈍角、つまり第 3 象限
となっているべきである。\(\tan(\text{垂弧})\)
の正負は、影距正午赤道度の正負に従うから、
\[ \text{赤経高弧交角} = -
\tan^{-1} {\tan(\text{垂弧}) \over \sin(\text{距影分辺})} \]
を、ATAN2
で算出すれば、赤経高弧交角を正しく算出できるはずである。
距影分辺の正負を考えない暦法新書においては、「もし距極分辺、転じて影距北極より大なれば、則ち得るところ外角と為し、半周と相減じ、其の余りを用う」としている。鈍角であるべきを、距影分辺の正負を考えないで計算すると、その外角の鋭角として算出されてしまうので、正しく鈍角となるよう外角を計算し直しているのである。
最後に、暦法新書の記載では、上に述べた以外にもいろいろ場合分けして計算している箇所があるので、それの総ざらい。
「もし距極分辺と影距北極、等しければ、赤経高弧交角、九十度を為す」
これは、垂線の足が、たまたま地球影上に落ちるケース。天頂・赤道北極・地球影を結ぶ球面三角形は、赤道高弧交角を直角とする球面直角三角形だったということになるので、当然、赤道高弧交角は直角となる。当ブログの計算では、\(\text{距影分辺} = \sin(\text{距影分辺}) = 0\) になるので、\(\text{赤経高弧交角} = \pm 90°\) （南中前は \(+90°\) 南中後は \(-90°\)）と、妥当な値になるはずである。
「もし子正初刻にして、影、正午に在り、影距正午赤道度無ければ、則ち赤経と高弧、合し、交角無し」
地球影の南中時には 当然、0° 。当ブログの式においても \(\tan(\text{垂弧}) = 0°\) となるので、0° となる。
ただし、熱帯地方で、\(\sin(\text{距影分辺}) \lt 0\) となる場合は、180° となるはず。当ブログの式ではそうのように求められるが、暦法新書では、それは述べられていない。最後に方位を求めるところで調整しているようである。
「もし影距正午赤道度、九十度と為し、則ち北極距天頂、即ち垂弧と為せば、正弧三角形法を用ゐ、影距北極の正弦を以って一率と為し、北極距天頂の正切線、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、赤経高弧交角の正切線と為し、表を検じ赤経高弧交角を得」
影距正午赤道度がたまたま 90° である場合、垂線の足は、赤道北極上に落ちることになり、垂弧 = 北極距天頂、距影分辺 = 影距北極として、垂弧・北極距天頂の算出を経ることなく、直接、赤経高弧交角を算出できるということである。
暦法新書のこの注記のように別途場合わけして算出すればいいのだが、場合わけせずに、
\[ \tan(\text{垂弧}) = \tan(\text{影距正午赤道度}) \sin(\text{距極分辺}) \]
として垂弧を求めていると問題が起きる。\(\text{影距正午赤道度}
= \pm 90°\) のとき、\(\tan(\text{影距正午赤道度}) = \pm \infty \),
\(\sin(\text{距極分辺}) = 0\) となり、正しく垂弧が算出できないのだ。
\[
\sin(\text{垂弧}) = \sin(\text{影距正午赤道度}) \sin(\text{北極距天頂}) \]
であれば、\(\text{影距正午赤道度}
＝ \pm 90°\) のとき、正しく \(\text{垂弧} = \pm \text{北極距天頂}\)
として算出することが出来る。これが、さきほど式を改めた理由である。
「もし影距正午赤道度、九十度と為せば、影距北極、また九十度にして、則ち北極距天頂度、即ち赤経高弧交角度」
影距正午赤道度がたまたま 90° であるだけでなく、さらに、影距北極が 90° であるとき、\(\text{垂弧} = \pm \text{北極距天頂}、\text{距影分辺} = \text{影距北極} = 90° \) であり、\(\sin(\text{影距北極}) = 1\) だから、\(\text{赤経高弧交角} = \pm \text{北極距天頂}\) となるというだけの話である。
黄道高弧交角
求初虧復円黄道高弧交角「置黄道赤経交角、加減初虧復円赤経高弧交角、得初虧復円黄道高弧交角。太陰在夏至前六宮（初一二三四五宮也）、影在午西則減、亦為限西、影在午東則加、加過九十度、与半周相減、亦為限東。若相加不及九十度、則不与半周相減、変為限西。太陰在夏至後六宮（六七八九十十一宮也）、影在午東則減、亦為限東、影在午西則加、加過九十度、与半周相減、亦為限西。若相加不及九十度、則不与半周相減、変為限東（若影在正午、無赤経高弧交角、則黄道赤経交角即黄道高弧交角。太陰在夏至前六宮、為限西。太陰在夏至後六宮、為限東。又、若黄道赤経交角、不足減赤経高弧交角、則反減。或加過百八十度、則減去一百八十度、用其余。黄平象限即在天頂北。若黄道赤経交角与赤経高弧交角相等而減尽無余、或相加適足一百八十度、即黄道在天頂、与高弧合、無交角）」黄道高弧交角、すなわち、黄道の、上方（地球影から天頂へと向かう方向）からの傾きである。
黄道赤経交角を置き、初虧復円赤経高弧交角を加減し、初虧復円黄道高弧交角を得。太陰、夏至前六宮（初一二三四五宮なり）に在れば、影、午西に在れば則ち減じ、また限西と為し、影、午東に在れば則ち加へ、加へて九十度を過ぐれば、半周と相減じ、また限東と為す。もし相加へて九十度に及ばずは、則ち半周と相減ぜず、変じて限西と為す。太陰、夏至後六宮（六七八九十十一宮なり）に在れば、影、午東に在れば則ち減じ、また限東と為し、影、午西に在れば則ち加へ、加へて九十度を過ぐれば、半周と相減じ、また限西と為す。もし相加へて九十度に及ばずは、則ち半周と相減ぜず、変じて限東と為す（もし影、正午に在り、赤経高弧交角無ければ、則ち黄道赤経交角、即ち黄道高弧交角。太陰、夏至前六宮に在れば、限西と為す。太陰、夏至後六宮に在れば、限東と為す。又、もし黄道赤経交角、赤経高弧交角を減ずるに足らざれば、則ち反減す。或いは加へて百八十度を過ぐれば、則ち一百八十度を減去し、其の余りを用う。黄平象限、即ち天頂の北に在り。もし黄道赤経交角と赤経高弧交角、相等しくして減じ尽して余り無ければ、或いは相加へてたまたま一百八十度に足れば、即ち黄道、天頂に在り、高弧と合し、交角無し）。
《時刻 = 初虧時刻、復円時刻、それぞれについて》
\[ \begin{align}
\text{黄道高弧交角} &= \text{黄道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{時刻})
\end{align} \]
当ブログの式においては、
- 黄道赤経交角: 地球影から見て、赤道北極方向を 0° として反時計回りに測った黄道前方の方向
- 赤経高弧交角: 地球影から見て、天頂方向を 0° として反時計回りに測った赤道北極の方向
として算出したので、両者を単純に加算すれば、黄道高弧交角、すなわち、「地球影から見て、天頂方向を 0° として反時計回りに測った黄道前方の方向」が算出できるはずである。
一方、正負の符号の概念を持たずに計算している暦法新書の記述では、いろいろと場合わけして計算している。暦法新書においては、
- 黄道赤経交角
-
地球影/月の黄経が春分点前後（夏至前六宮）: 「赤道北極方向を 0°
として反時計回りに測った黄道前方の方向」、または、「赤道南極方向を 0°
として反時計回りに測った黄道後方の方向」。
黄道は左肩あがり「限西」。 -
地球影/月の黄経が秋分点前後（夏至後六宮）: 「赤道北極方向を 0°
として時計回りに測った黄道後方の方向」、または、「赤道南極方向を 0°
として時計回りに測った黄道前方の方向」。
黄道は左肩さがり「限東」。 - 赤経高弧交角
-
南中前（午東）: 「上（天頂方向）を 0°
として反時計回りに測った赤道北極の方向」、または、「下（天底方向）を 0°
として反時計回りに測った赤道南極の方向」であるともいえる。
黄道を左肩さがりに寄せる。 -
南中後（午西）: 「上（天頂方向）を 0°
として時計回りに測った赤道北極の方向」、または、「下（天底方向）を 0°
として時計回りに測った赤道南極の方向」であるともいえる。
黄道を左肩あがりに寄せる。
として、黄道赤経交角・赤経高弧交角が算出されていたのであった。
ともに反時計回り（夏至前六宮で、午東）、ともに時計回り（夏至後六宮で、午西）の場合は加算する。加算した結果、90°
以上となる場合、黄道が左肩あがり（夏至前六宮）だったものは左肩さがり「限東」となり、黄道が左肩さがり（夏至後六宮）だったものは左肩あがり「限西」となる。その場合、外角をとって鋭角となるようにしておく。
かたや反時計回り、かたや時計回りの場合（夏至前六宮で午西、 または、夏至後六宮で午東）のときは、角度を減算する。
「限西」（黄道が左肩あがり）となったときは、黄道高弧交角は
「上（天頂方向）を
0° として反時計回りに測った黄道前方の方向」、または、
「下（天底方向）を
0° として反時計回りに測った黄道後方の方向」として計算されている。
一方、「限東」（黄道が左肩さがり）となったときは、 黄道高弧交角は
「上（天頂方向）を
0° として時計回りに測った黄道後方の方向」、または、
「下（天底方向）を 0°
として時計回りに測った黄道前方の方向」として計算されている。
その他、色々場合わけが記載されているので見ていこう。
「もし影、正午に在り、赤経高弧交角無ければ、則ち黄道赤経交角、即ち黄道高弧交角。太陰、夏至前六宮に在れば、限西と為す。太陰、夏至後六宮に在れば、限東と為す」
赤経高弧交角がゼロだったときは、黄道赤経交角がそのまま黄道高弧交角となる。当たり前の話である。
「もし黄道赤経交角、赤経高弧交角を減ずるに足らざれば、則ち反減す。或いは加へて百八十度を過ぐれば、則ち一百八十度を減去し、其の余りを用う。黄平象限、即ち天頂の北に在り。」
黄道赤経交角は、黄道傾斜角を 23°.5 とする場合、66°.5～90° の範囲である（暦法新書の式では、黄道赤経交角は常に鋭角）。一方、赤経高弧交角の値域をちゃんと計算するのは面倒だが、京都（地点緯度 35°.01）の春秋分のときであれば、日出入時の 54°.99 が最大のはずで、春秋分以外でも概ねそんなもんだろう。とすると、黄道赤経交角が赤経高弧交角以下になることはないはず。
だが、それは京都での話であって、熱帯地域の南中近くの場合、赤経高弧交角は鈍角になりうるから、黄道赤経交角が、赤経高弧交角以下になることはありうる。その場合「反減」、つまり、赤経高弧交角から黄道赤経交角を引け、とする。これは角度の符号が反転し、時計周りだったものが反時計回りに、反時計回りだったものが時計周りになるので、
- 「限西」: 「上（天頂方向）を 0° として時計回りに測った黄道前方の方向」、または、「下（天底方向）を 0° として時計回りに測った黄道後方の方向」
- 「限東」: 「上（天頂方向）を 0° として反時計回りに測った黄道後方の方向」、または、「下（天底方向）を 0° として反時計回りに測った黄道前方の方向」
となる。
同様に、京都であれば、黄道赤経交角も赤経高弧交角も、暦法新書どおりの計算をする場合、ともに鋭角なので、足して 180° を超えることはないが、熱帯地域の南中近くの場合、赤経高弧交角は鈍角になりうるから、足して 180° 以上になることもありうる。その場合「一百八十度を減去し、其の余りを用う」としており、これは、時計回りか反時計回りかは変わらないが、天頂から測った角か天底から測った角かが反転することになる。一方で、「足して 90° 以上となる場合、限西か限東かが反転」というルールの適用対象ともなるので、
- 「限東」: 「下（天底方向）を 0° として反時計回りに測った黄道前方の方向」、または、「上（天頂方向）を 0° として反時計回りに測った黄道後方の方向」
- 「限西」: 「下（天底方向）を 0° として時計回りに測った黄道後方の方向」、または、「上（天頂方向）を 0° として時計回りに測った黄道前方の方向」
となる。つまり、結果として、黄道赤経交角が赤経高弧交角以下になるケースと同じであって、反時計回りか時計回りかが反転していることになる。
「黄平象限、即ち天頂の北に在り」とは、「このようなケースが発生するのは、『黄平象限』が、天頂の北の場合である」と注記しているものである。「黄平象限」が何を意味しているのかよく知らないが、文脈から言って、太陽・地球影等の南中点のことであろうと思われる。「象限」とは、出入時から 90° の角度差をもったところだからだろうか。西洋語の "nonagesimal" の訳語か。
「もし黄道赤経交角と赤経高弧交角、相等しくして減じ尽して余り無ければ、或いは相加へてたまたま一百八十度に足れば、即ち黄道、天頂に在り、高弧と合し、交角無し」
「減じ尽して余り無ければ」の場合、「黄道高弧交角 = 黄道赤経交角 - 赤経高弧交角 = 0」という当たり前のことを言っている。
「相加へてたまたま一百八十度に足れば」の方は、先ほどの、180° 超になる場合の「限東西」と「上下起点」が反転して、結果、反時計回り時計回り反転になるというパターンの特殊例で、180° 超でなく、ちょうど 180° の場合。
以上で、黄道赤経交角と赤経高弧交角の算出が完了した。
次回は、併径交実緯角・黄道交実緯角の算出を行い、初虧・復円時の方向角を求める。
よくよく見ると暦法新書では、初虧・復円時の方向角の算出法は記載しているが、食甚時の方向角の算出法が記載されていない。そこで、
- 食甚時の方向角
- 頒暦の日月食記事の記載のためには必要だが、計算方法が書いていない
についても説明する。また、
- 食既（皆既のはじめ）・生光（皆既のおわり）時の方向角
- 頒暦の日月食記事の記載のためには必要ないし、計算方法も書いていない
- 帯出入時の方向角
- 頒暦の日月食記事の記載のためには必要ないが、計算方法が書いてある
についても、併せて記載する。
[参考文献]
吉田 秀升, 山路 徳風, 高橋 至時, (校正) 土御門 泰栄「暦法新書」（寛政） 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
渋川 景佑「寛政暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
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