前回に引き続き、初虧初虧・復円時の方向角の算出について。
方向角は、下記の角度を総計したものとして算出することが出来るが、前回は「1. 赤経高弧交角」「2. 黄道赤経交角」の説明まで終わった。
-
赤経高弧交角
（月/地球影が乗っている赤経線方向が、天頂方向となす角） - 黄道赤経交角
（黄道が、月/地球影が乗っている赤経線方向となす角） - 黄道交実緯角
（食甚時の月と地球影とを結ぶ方向が、黄道となす角） -
併径交実緯角
（初虧・復円時の月と地球影とを結ぶ方向が、食甚時の月と地球影とを結ぶ方向となす角）
今回は、「3. 黄道交実緯角」「4. 併径交実緯角」の算出を行い、初虧・復円時における方向角を求める。
また、食甚・食既（皆既のはじめ）・生光（皆既のおわり）、帯出入時の方向角についても述べる。
併径黄道交角
求併径交実緯角「以併径為一率、食甚実緯為二率、半径為三率、求得四率為併径交実緯角之余弦、検表得併径交実緯角（如無食甚実緯、則無併径交実緯角、即以斜距黄道交角為初復併径黄道交角）」
併径を以って一率と為し、食甚実緯、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、併径交実緯角の余弦と為し、表を検じ併径交実緯角を得（もし食甚実緯無ければ、則ち併径交実緯角無し、即ち斜距黄道交角を以って初復併径黄道交角と為す）。
求初虧黄道交実緯角「置九十度、加減斜距黄道交角、得初虧黄道交実緯角。食甚月距正交、初宮六宮為減、五宮十一宮為加」
九十度を置き、斜距黄道交角を加減し、初虧黄道交実緯角を得。食甚月距正交、初宮・六宮、減と為し、五宮・十一宮、加と為す。
求初虧併径黄道交角「以初虧黄道交実緯角、与併径交実緯角相減、得初虧併径黄道交角。凡、併径交実緯角、小於初虧黄道交実緯角、則初虧距緯之南北与食甚同、大於初虧黄道交実緯角、則食甚為緯北者、初虧為緯南、食甚為緯北者、初虧為緯北。若両角相等、則併径与黄道合、無交角」
初虧黄道交実緯角を以って、併径交実緯角と相減じ、初虧併径黄道交角を得。およそ、併径交実緯角、初虧黄道交実緯角より小さければ、則ち初虧距緯の南北、食甚と同じく、初虧黄道交実緯角より大きければ、則ち食甚緯北と為せば、初虧緯南と為し、食甚緯北と為せば、初虧緯北と為す。もし両角相等しければ、則ち併径と黄道と合し、交角無し。
求復円黄道交実緯角「置九十度、加減斜距黄道交角、得復円黄道交実緯角。食甚月距正交、初宮六宮為加、五宮十一宮為減」
九十度を置き、斜距黄道交角を加減し、復円黄道交実緯角を得。食甚月距正交、初宮・六宮、加と為し、五宮・十一宮、減と為す。
求復円併径黄道交角「以復円黄道交実緯角、与併径交実緯角相減、得復円併径黄道交角。凡、併径交実緯角、小於復円黄道交実緯角、則復円距緯之南北与食甚同、大於復円黄道交実緯角、則食甚為緯北者、復円為緯南、食甚為緯北者、復円為緯北。若両角相等、則併径与黄道合、無交角」
復円黄道交実緯角を以って、併径交実緯角と相減じ、復円併径黄道交角を得。およそ、併径交実緯角、復円黄道交実緯角より小さければ、則ち復円距緯の南北、食甚と同じく、復円黄道交実緯角より大きければ、則ち食甚緯北と為せば、復円緯南と為し、食甚緯北と為せば、復円緯北と為す。もし両角相等しければ、則ち併径と黄道と合し、交角無し。
\[ \begin{align}
\text{併径交実緯角} &= \cos^{-1} {\text{食甚実緯} \over \text{併径}} \\
\text{黄道交実緯角} &= 90° - \text{斜距黄道交角} \\
\text{初虧併径黄道交角} &= \text{黄道交実緯角} - \text{併径交実緯角} \\
\text{復円併径黄道交角} &= \text{黄道交実緯角} + \text{併径交実緯角}
\end{align} \]
このブログの式では式をすっきりさせるために若干トリッキーなことをしてあるし、また一方で、暦法新書の式は例によって符号の概念なしに算出しているので煩雑である。そこでまず、どういう計算であるべきなのかを考えてみよう。
黄道交実緯角は、食甚時の月から見て、地球影のある方向（地球影から見て、食甚時の月がある方向の 180° 反対側）の黄道方向からのずれである。概ね黄道に対して垂直な方向だが、斜距黄道交角のぶんだけ若干傾いている。
斜距黄道交角の算出は、前々回説明しているのでそこを参照されたいが、このブログの式においては、昇交点前後（十一宮、初宮）では正、降交点前後（五宮、六宮）では負の値として計算しておいた。以下、\(X
= \text{斜距黄道交角}\) と置く。
併径交実緯角は、食甚時の月から見て地球影のある方向に対する、初虧・復円時の月から見て地球影のある方向の角度差（つまり、地球影から見て、食甚時の月がある方向に対する、初虧・復円時の月がある方向の角度差）。
- 「併径交実緯角」は、ちょっと奇妙なネーミングだ。初虧・復円時の月中心と地球影中心との距離が「併径」だが、この言葉を初虧・復円時の月中心と地球影中心とを結ぶ線分を意味するものとして使い、また、食甚時の月中心と地球影中心との距離が「食甚実緯」だが、この言葉を食甚時の月中心と地球影中心とを結ぶ線分を意味するものとして使っている。そして、「併径」（つまり、初虧・復円時の月中心と地球影中心とを結ぶ線分）と、「実緯」（つまり、 食甚時の月中心と地球影中心とを結ぶ線分）とがなす角が「併径交実緯角」なのである。
食甚時の月は、月が動く軌道に対し、地球影から降ろした垂線の足であり、地球影から食甚時の月までの距離は食甚実緯、地球影から初虧・復円時の月までの距離は併径。よって、
\(\cos(\text{併径交実緯角})
= \dfrac{|\text{食甚実緯}|}{\text{併径}} \)
として求めることが出来る。\(Y =
\text{併径交実緯角}\) と置く。
ここで、黄道交実緯角と併径交実緯角をあわせ、併径黄道交角を算出する。「黄道前方方向を 0° とし、初虧・復円時の月から見て地球影のある方向を反時計回りに測った角度」として定義する。これは、上図と見比べながら表を見てほしいが、下表のようになるはずである。
| 交点前後 | 黄道交実緯角 (A) |
初復 | 併径交実緯角 (B) |
併径黄道交角 (A+B) |
|---|---|---|---|---|
| 昇交点前（十一宮） | \(-90° - |X|\) (\(X \gt 0\)) |
初虧 | \(+Y\) | \(-90° - X + Y = (90° - X) - (180° - Y)\) |
| 復円 | \(-Y\) | \(-90° - X - Y = (90° - X) + (180° - Y)\) | ||
| 昇交点後（初宮） | \(90° - |X|\) (\(X \gt 0\)) |
初虧 | \(-Y\) | \(90° - X - Y = (90° - X) - Y\) |
| 復円 | \(+Y\) | \(90° - X + Y = (90° - X) + Y\) | ||
| 降交点前（五宮） | \(90° + |X|\) (\(X \lt 0\)) |
初虧 | \(-Y\) | \(90° + |X| - Y = (90° - X) - Y\) |
| 復円 | \(+Y\) | \(90° + |X| + Y = (90° - X) + Y\) | ||
| 昇交点後（六宮） | \(-90° + |X|\) (\(X \lt 0\)) |
初虧 | \(+Y\) | \(-90° + |X| + Y = (90° - X) - (180° - Y)\) |
| 復円 | \(-Y\) | \(-90° + |X| - Y = (90° - X) + (180° - Y)\) |
さて、では、このブログの式ではどう計算しているかだが、もし、食甚実緯の絶対値を取らず、
\(\cos(\text{併径交実緯角})
= \dfrac{\text{食甚実緯}}{\text{併径}} \)
として計算したなら、食甚実緯が負（昇交点前十一宮、降交点後六宮）のとき、外角（\(180°
- Y\)) として算出されるはずである。この値を \(Y^\prime\)
とすると、併径黄道交角は、
\[ \begin{align}
\text{初虧併径黄道交角}
&= (90° - X) - Y^\prime \\
\text{復円併径黄道交角} &= (90° - X) +
Y^\prime
\end{align} \]
としてすべて統一的に計算できるはずである。この
\(90° - X\) を黄道交実緯角として、\(Y^\prime\)
を併径交実緯角として計算したのが当ブログの式である。それぞれ、下図の赤矢印の角度であるように定義していることになる。
暦法新書の併径黄道交角は、
- 月北（初宮、五宮）の初虧併径黄道交角: 黄道前方（図の左）から反時計回りの角
- 月南（六宮、十一宮）の初虧併径黄道交角: 黄道前方から時計回りの角
- 月北（初宮、五宮）の復円併径黄道交角: 黄道後方（図の右）から時計回りの角
- 月南（六宮、十一宮）の復円併径黄道交角: 黄道後方から反時計回りの角
として計算されている。黄道交実緯角は、初虧と復円とで別々に計算しており、初虧は黄道前方から測った角、復円は黄道後方から測った角となっている。初宮・六宮のとき、黄道前方から測れば鋭角・黄道後方から測れば鈍角となり、五宮・十一宮のとき、黄道前方から測れば鈍角・黄道後方から測れば鋭角となる。よって、90° に斜距黄道交角を加減する際、初虧黄道交実緯角を得初虧黄道交実緯角では「初宮・六宮、減と為し、五宮・十一宮、加と為す」、復円黄道交実緯角では「初宮・六宮、加と為し、五宮・十一宮、減と為す」としている。
黄道交実緯角に併径交実緯角を加味して、併径黄道交角を得るとき、初虧では黄道前方から、復円では黄道後方から測った角度としているので、常に併径交実緯角は角度を減少させる要素として働くから、常に減算している。
「もし食甚実緯無ければ、則ち併径交実緯角無し、即ち斜距黄道交角を以って初復併径黄道交角と為す」
併径交実緯角の箇所に上記のような記載がある。食甚実緯がゼロ (※) のとき、
\(\cos(\text{併径交実緯角})
= \dfrac{\text{食甚実緯}}{\text{併径}} \)
を算出すると、併径交実緯角 = 90°
となるはずである。
-
(※)
つまり、食甚時に月中心と地球影中心とが完全に一致する。月距正交は、ちょうど初宮初度
(0°)、つまり月がちょうど昇交点にあるか、ちょうど六宮初度
(180°)、つまり、月がちょうど降交点にあるかのどちらか。
\(\text{黄道交実緯角} = 90° - \text{斜距黄道交角}\) に加減すれば、
\(\text{初虧併径黄道交角}
= - \text{斜距黄道交角}\)
\(\text{復円併径黄道交角} = 180° - \text{斜距黄道交角}\)
暦法新書の定義のように、復円併径黄道交角を、黄道後方から測った角として定義するなら、\(\text{復円併径黄道交角}
= - \text{斜距黄道交角}\) となる。
つまり、「斜距黄道交角を以って初復併径黄道交角」となっているわけである。
昇交点にあって、斜距黄道交角が正のときは、時計回りの角、降交点にあって、斜距黄道交角が負のときは、反時計回りの角となるはずである。
「併径/復円交実緯角、初虧/復円黄道交実緯角より小さければ、則ち初虧/復円距緯の南北、食甚と同じく、初虧/復円黄道交実緯角より大きければ、則ち食甚緯北と為せば、初虧緯南と為し、食甚緯北と為せば、初虧緯北と為す」
これは、何を意味しているのかというと、黄道交実緯角より併径交実緯角の方が大きいとき、（我々の言葉で言うならば）減算するとマイナスになるわけだが、これはつまり、角度の向き（反時計回りか時計回りか）が反転するということになる。
食甚時の月が黄道の北（食甚時の月より地球影が南）のときは、初虧・復円の月も黄道より北（初虧・復円時の月より地球影が南）なのが通常で、その場合、初虧併径黄道交角は反時計回りの角、復円併径黄道交角は時計周りの角になるはず。食甚時の月が黄道の南ならその逆だ。
が減算するとマイナスになってしまう場合、逆に、併径交実緯角から黄道交実緯角を引いて、その代わりに南北を反転する。つまり、食甚時の月が黄道の北であっても、初虧（または復円）時の月は南であるとし、従って併径黄道交角の反時計回り・時計回りも反転する。
「もし両角相等しければ、則ち併径と黄道と合し、交角無し」
こちらの方は、当たり前のことを言っているだけなので、説明不要だろう。
併径高弧交角
求初虧併径高弧交角「置初虧黄道高弧交角、加減初虧併径黄道交角、得初虧併径高弧交角。初虧在限東者、緯南則加、緯北則減。初虧在限西者、緯南則減、緯北則加（如無食甚実緯者、食在限東、食甚月距正交、初宮則加、六宮則減、食在限西、食甚月距正交、初宮則減、六宮則加）。如無初虧併径黄道交角、則初虧黄道高弧交角即初虧併径高弧交角」
初虧黄道高弧交角を置き、初虧併径黄道交角を加減し、初虧併径高弧交角を得。初虧、限東に在れば、緯南則ち加へ、緯北則ち減ず。初虧、限西に在れば、緯南則ち減じ、緯北則ち加ふ（もし食甚実緯無ければ、食、限東に在れば、食甚月距正交、初宮則ち加へ、六宮則ち減じ、食、限西に在れば、食甚月距正交、初宮則ち減じ、六宮則ち加ふ）。もし初虧併径黄道交角無ければ、則ち初虧黄道高弧交角、即ち初虧併径高弧交角。
求復円併径高弧交角「置復円黄道高弧交角、加減復円併径黄道交角、得復円併径高弧交角。復円在限東者、緯南則減、緯北則加。復円在限西者、緯南則加、緯北則減（如無食甚実緯者、食在限東、食甚月距正交、初宮則加、六宮則減、食在限西、食甚月距正交、初宮則減、六宮則加）。如無復円併径黄道交角、則復円黄道高弧交角即復円併径高弧交角」
復円黄道高弧交角を置き、復円併径黄道交角を加減し、復円併径高弧交角を得。復円、限東に在れば、緯南則ち減じ、緯北則ち加ふ。復円、限西に在れば、緯南則ち加へ、緯北則ち減ず（もし食甚実緯無ければ、食、限東に在れば、食甚月距正交、初宮則ち加へ、六宮則ち減ず、食、限西に在れば、食甚月距正交、初宮則ち減じ、六宮則ち加ふ）。もし復円併径黄道交角無ければ、則ち復円黄道高弧交角、即ち復円併径高弧交角。
\[ \begin{align}
\text{初虧併径高弧交角} &= \text{初虧黄道高弧交角} +
\text{初虧併径黄道交角} \\
\text{復円併径高弧交角} &= \text{復円黄道高弧交角} +
\text{復円併径黄道交角}
\end{align} \]
黄道高弧交角と併径黄道交角とを合わせて、併径高弧交角を得る。
このブログの式では、
- 黄道高弧交角: 上（天頂方向）を 0° として反時計回りに測った黄道前方の方向
- 併径黄道交角: 黄道前方を 0° として反時計回りに測った、月から見ての地球影のある方向
として、定義しておいたから、両者を単純に加算すれば、併径高弧交角を、「上（天頂方向）を 0° として反時計回りに測った、月から見ての地球影のある方向」として算出することが出来る。
暦法新書の計算を理解するには場合わけして考えないといけない。
暦法新書の黄道高弧交角は、
- 「限西」: 「上（天頂方向）を 0° として反時計回りに測った黄道前方の方向」、または、「下（天底方向）を 0° として反時計回りに測った黄道後方の方向」
- 「限東」: 「上（天頂方向）を 0° として時計回りに測った黄道後方の方向」、または、「下（天底方向）を 0° として時計回りに測った黄道前方の方向」
として定義されている。また、暦法新書の併径黄道交角は、
- 緯北の初虧併径黄道交角: 黄道前方から反時計回りの角
- 緯南の初虧併径黄道交角: 黄道前方から時計回りの角
- 緯北の復円併径黄道交角: 黄道後方から時計回りの角
- 緯南の復円併径黄道交角: 黄道後方から反時計回りの角
ともに反時計回り（初虧の限西緯北、復円の限西緯南）、ともに時計回り（初虧の限東緯南、復円の限東緯北）であれば両角を加算する。かたや反時計回り、かたや時計回りであれば減算する。
加減した結果、
- 初虧の限西: 上（天頂方向）を 0° として反時計回りに（つまり左方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
- 初虧の限東: 下（天底方向）を 0° として時計回りに（つまり左方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
- 復円の限西: 下（天底方向）を 0° として反時計回りに（つまり右方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
- 復円の限東: 上（天頂方向）を 0° として時計回りに（つまり右方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
として算出されるはずである。黄道高弧交角より併径黄道交角の方が大きく、減算するとマイナスになる場合は、反時計回り・時計回りが逆になる。
「もし食甚実緯無ければ、食、限東に在れば、食甚月距正交、初宮則ち加へ、六宮則ち減じ、食、限西に在れば、食甚月距正交、初宮則ち減じ、六宮則ち加ふ」
併径黄道交角のところで記載したように、食甚実緯がゼロ、すなわち、食甚時に月中心と地球影中心が完全に一致するとき、併径交黄道交角 = 斜距黄道交角として算出され、それは、月が昇交点にある（月距正交は初宮初度）とき時計回りの角、月が降交点にある（月距正交は六宮初度）とき反時計回りの角なのであった。
よって、初虧でも復円でも、「限東」は時計回りの角度なので「初宮則ち加へ、六宮則ち減じ」、「限西」は反時計回りの角度なので「初宮則ち減じ、六宮則ち加ふ」。
「もし初虧併径黄道交角無ければ、則ち初虧黄道高弧交角、即ち初虧併径高弧交角」
「もし復円併径黄道交角無ければ、則ち復円黄道高弧交角、即ち復円併径高弧交角」
これは、当たり前のことを言っているので説明不要だろう。
初虧方位・復円方位
求初虧方位「初虧在限東者、初虧併径高弧交角、初度為正下、四十五度以内為下偏左、四十五度以外為左偏下、九十度為正左、過九十度為左偏上。初虧在限西者、初虧併径高弧交角、初度為正上、四十五度以内為上偏左、四十五度以外為左偏上、九十度亦為正左、過九十度為左偏下。併径黄道交角大、反減黄道高弧交角者、則左変為右」暦法新書の併径高弧交角は、
初虧、限東に在れば、初虧併径高弧交角、初度、正下と在し、四十五度以内、下偏左と為し、四十五度以外、左偏下と為し、九十度、正左と為し、九十度を過ぐれば左偏上と為す。初虧、限西に在れば、初虧併径高弧交角、初度、正上と為し、四十五度以内、上偏左と為し、四十五度以外、左偏上と為し、九十度、また正左と為し、九十度を過ぐれば左偏下と為す。併径黄道交角大にして、黄道高弧交角を反減すれば、則ち左、変じて右と為す。
求復円方位「復円在限東者、復円併径高弧交角、初度為正上、四十五度以内為上偏右、四十五度以外為右偏上、九十度為正右、過九十度為右偏下。復円在限西者、復円併径高弧交角、初度為正下、四十五度以内為下偏右、四十五度以外為右偏下、九十度亦為正右、過九十度為右偏上。併径黄道交角大、反減黄道高弧交角者、則右変為左（京師北極出地三十五度一分故、月食方位皆以黄平象限在天頂南而定。若北極出地在黄赤大距以下者、黄平象限有時在天頂北、則初虧復円方位之左右与此相反。併径黄道交角之加減亦相反）」
復円、限東に在れば、復円併径高弧交角、初度、正上と為し、四十五度以内、上偏右と為し、四十五度以外、右偏上と為し、九十度、正右と為し、九十度を過ぐれば右偏下と為す。復円、限西に在れば、復円併径高弧交角、初度、正下と為し、四十五度以内、下偏右と為し、四十五度以外、右偏下と為し、九十度、また正右と為し、九十度を過ぐれば右偏上と為す。併径黄道交角大にして、黄道高弧交角を反減すれば、則ち右、変じて左と為す（京師北極出地三十五度一分なるが故、月食方位、みな黄平象限を以って天頂の南に在りて定まる。もし北極出地、黄赤大距以下に在れば、黄平象限、有る時は天頂の北に在り、則ち初虧復円方位の左右、此と相反す。併径黄道交角の加減、また相反す）。
- 初虧の限東: 下（天底方向）を 0° として時計回りに（つまり左方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
- 初虧の限西: 上（天頂方向）を 0° として反時計回りに（つまり左方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
- 復円の限東: 上（天頂方向）を 0° として時計回りに（つまり右方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
- 復円の限西: 下（天底方向）を 0° として反時計回りに（つまり右方向に）測った、月から見ての地球影のある方向
として計算されていたから、記述のようなことになる。
このブログの式においては、常に「上（天頂方向）を 0° として反時計回りに（つまり左方向に）測った、月から見ての地球影のある方向」として計算しているので、
| 併径高弧交角 | 方向 | 併径高弧交角 | 方向 |
|---|---|---|---|
| \(\theta = 0°\) |
正上 | - | |
| \(0° \lt \theta \lt 45°\) |
上偏左 | \(-45° \lt \theta \lt 0°\) |
上偏右 |
| \(45° \lt \theta \lt 90°\) |
左偏上 | \(-90° \lt \theta \lt -45°\) |
右偏上 |
| \(\theta = 90°\) |
正左 | \(\theta = -90°\) |
正右 |
| \(90° \lt \theta \lt 135°\) |
左偏下 | \(-135° \lt \theta \lt -90°\) |
右偏下 |
| \(135° \lt \theta \lt 180°\) |
下偏左 | \(-180° \lt \theta \lt -135°\) |
下偏右 |
| \(\theta = 180°\) |
正下 | - | |
ということになる。ただし、頒暦の日月食記事においては、「上の方」「上の左」「上と左の間」「左の上」「左の方」「左の下」「左と下の間」「下の左」「下の方」「下の右」「右と下の間」「右の下」「右の方」「右の上」「上と右の間」「上の右」の 16 方位で記載しているので、上の表どおりにはなっていない。
暦法新書に書いてある場合わけの記述をさらっておこう。
「併径黄道交角大にして、黄道高弧交角を反減すれば、則ち左、変じて右と為す」
「併径黄道交角大にして、黄道高弧交角を反減すれば、則ち右、変じて左と為す」
黄道高弧交角から併径黄道交角を減算するにあたって、併径黄道交角の方が大きかった時、マイナスの数という概念を用いないので、逆に、併径黄道交角から黄道高弧交角を引くのだが、そうすると角度の符号が反転しているわけだから、反時計回りか時計回りかが反転する。上（または下）から測った角度の方向を反転するのだから、左右が反転するわけである。
「京師北極出地三十五度一分なるが故、月食方位、みな黄平象限を以って天頂の南に在りて定まる。もし北極出地、黄赤大距以下に在れば、黄平象限、有る時は天頂の北に在り、則ち初虧復円方位の左右、此と相反す。併径黄道交角の加減、また相反す」
熱帯地方だったりすると、黄道赤経交角・赤経高弧交角から黄道高弧交角を算出するとき、減算してマイナスになったり、加算して 180° 以上になったりして、その時は、黄道高弧交角の符号が反転（反時計回りか時計回りかが反転）するのであった。なので、このケースでも左右を反転するが、そうすると、併径黄道交角の符号も一緒に反転してしまうことになる。そっちは反転しては行けないので、黄道高弧交角に併径黄道交角を加減する際の加か減かを逆にしろと言っている。
以上で、初虧・復円の方向角（初虧併径高弧交角・復円併径高弧交角）の算出が完了した。
食甚・食既・生光時の方向角
以上、初虧・復円時の方向角の算出について述べたが、よくよく見ると食甚時の方向角の算出式が記載されていない。頒暦の日月食記事の記載上、食甚時の方向角も必要なのだが。
とはいえ、初虧・復円時の方向角の計算の真似をすれば、食甚時の方向角も算出できる。
黄道赤経交角・黄道交実緯角は、初虧だろうが復円だろうが食甚だろうが共通の値。赤経高弧交角は、初虧ならば初虧時刻、食甚ならば食甚時刻の地球影の時角（影距正午赤道度）に基づいて計算すればいいだけ。食甚の方位角を計算するとき、初虧・復円時と違うのは併径交実緯角のところ。
当ブログでの併径交実緯角の計算にならい、食甚時の併径交実緯角相当のものを算出するなら、
- 月北（初宮、五宮）のとき: 0°
- 月南（六宮、十一宮）のとき: 180°
という値になるべきである。これを、実緯交実緯角と呼ぶことにしよう（バカっぽいネーミングなのは自覚がある）。
\(\cos(\text{併径交実緯角}) = \dfrac{\text{食甚実緯}}{\text{併径}} \)
の形式に倣えば、
\(\cos(\text{実緯交実緯角})
= \dfrac{\text{食甚実緯}}{|\text{食甚実緯}|} \)
として計算できる。
-
この計算だと、食甚実緯 = 0
のときにゼロ除算となって問題があるが、どのみち、食甚実緯 =
0（地球影中心と食甚時の月中心とが完全に一致する）のときの食甚方向角は定義できないのだから、まあよかろう。
気持ち悪ければ、\(\cos(\text{実緯交実緯角}) = \text{符号}(\text{食甚実緯}) \) でも構わない
（\(\text{符号}(\text{食甚実緯})\) は、食甚実緯が正のとき 1, 負のとき -1 とする）。
\[ \begin{align}
\text{初虧併径高弧交角} &= \text{黄道赤経交角} +
\text{赤経高弧交角}(@\text{初虧時刻}) + \text{黄道交実緯角} - \text{併径交実緯角} \\
\text{復円併径高弧交角}
&= \text{黄道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{復円時刻}) + \text{黄道交実緯角} +
\text{併径交実緯角}
\end{align} \]
であったように、
\[
\text{食甚実緯高弧交角} = \text{黄道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{食甚時刻}) +
\text{黄道交実緯角} + \text{実緯交実緯角} \]
として算出できる。
また、頒暦の日月食記事では使用しないが、食既（皆既のはじめ）、生光（皆既のおわり）における方向角も同様に計算することが出来る。\(\text{両径較}
= \text{実影半径} - \text{太陰視半径}\) として、
\(\cos(\text{両径較交実緯角}) =
\dfrac{\text{食甚実緯}}{\text{両径較}} \)
とし、
-
要するに一般に、該当時刻における月中心と地球影中心の距離を \(d\)
とするとき、
\(\cos(\text{交実緯角}) = \dfrac{\text{食甚実緯}}{d} \) として計算できるわけである。
\[ \begin{align}
\text{食既両径較高弧交角} &= \text{黄道赤経交角} +
\text{赤経高弧交角}(@\text{食既時刻}) + \text{黄道交実緯角} - \text{両径較交実緯角} \\
\text{生光両径較高弧交角}
&= \text{黄道赤経交角} + \text{赤経高弧交角}(@\text{生光時刻}) + \text{黄道交実緯角} +
\text{両径較交実緯角}
\end{align} \]
と算出できる。方向角は、月から見て地球影のある方向であり、かけている箇所の方向だが、現代の暦要項の記載のように、皆既のはじめ/おわりの方向角は、地球影から見て月のある方向として算出する（かけずに光が残っている箇所の方向とする）のであれば、180°
を加算して真裏の方向にすればよい。
帯出入時の方向角
頒暦の日月食記事では記載されないが、帯出入時の方向角の計算方法が定義されている。
帯食赤経高弧交角
求帯食赤経高弧交角「以影距赤道度之余弦為一率（即影距北極之正弦）、北極高度之正弦為二率、半径為三率、求得四率為赤経高弧交角之余弦、検表得帯食赤経高弧交角。帯出地平為東、帯入地平為西」
影距赤道度の余弦を以って一率と為し（即ち影距北極の正弦）、北極高度の正弦、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、赤経高弧交角の余弦と為し、表を検じ帯食赤経高弧交角を得。帯出地平は東と為し、帯入地平は西と為す。
求帯食黄道高弧交角「置黄道赤経交角、加減帯食赤経高弧交角、得帯食黄道高弧交角。太陰在夏至前六宮、影在午西則減、午東則加（加過九十度者、与半周相減、用其余）。太陰在夏至後六宮、影在午西則加（加過九十度者、与半周相減、用其余）、午東則減（若黄道赤経交角不足減赤経高弧交角、則反減。或加過一百八十度、則減去一百八十度、用其余。黄平象限則在天頂北。若黄道赤経交角与赤経高弧交角相等而減尽無余、或相加適足一百八十度、則黄道在天頂、与高弧合、無交角）」
黄道赤経交角を置き、帯食赤経高弧交角を加減し、帯食黄道高弧交角を得。太陰、夏至前六宮に在るは、影、午西に在れば則ち減じ、午東は則ち加ふ（加へて九十度を過ぐれば、半周と相減じ、其の余りを用う）。太陰、夏至後六宮に在るは、影、午西に在れば則ち加へ（加へて九十度を過ぐれば、半周と相減じ、其の余りを用う）、午東は則ち減ず（もし黄道赤経交角、赤経高弧交角を減ずるに足らざれば、則ち反減す。或いは加へて一百八十度を過ぐれば、則ち一百八十度を減去し、其の余りを用う。黄平象限、則ち天頂の北に在り。もし黄道赤経交角と赤経高弧交角と相等しくて減じ尽し余り無ければ、或いは、相加へてたまたま一百八十度に足れば、則ち黄道、天頂に在り、高弧と合し、交角無し）。
\[ \begin{align}
\text{出帯食赤経高弧交角} &= \cos^{-1} {\sin(\text{北極高度}) \over \cos(\text{影距赤道度})} \\
\text{入帯食赤経高弧交角} &= - \cos^{-1} {\sin(\text{北極高度}) \over \cos(\text{影距赤道度})} \\
\text{出/入時黄道高弧交角} &= \text{黄道赤経交角} + \text{出/入時赤経高弧交角}
\end{align} \]
初虧・復円赤経高弧交角と同じ方法で計算しても別に構わないのだが、出入時、地球影はちょうど地平線上にあるわけであり、天頂と地球影との距離がちょうど 90° になる。天頂・赤道北極・地球影を結ぶ球面三角形は、一辺を 90° とする象限三角形となるため、多少計算が簡単になる。
\[ \begin{align}
\cos(\text{北極距天頂}) &= \sin(\text{影距北極}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
\cos(90° - \text{北極高度}) &= \sin(90° - \text{影距赤道度}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
\sin(\text{北極高度}) &= \cos(\text{影距赤道度}) \cos(\text{赤経高弧交角}) \\
\cos(\text{赤経高弧交角}) &= {\sin(\text{北極高度}) \over \cos(\text{影距赤道度})}
\end{align} \]
として得られる。なお、復習しておくと「影距赤道度」は地球影の赤緯、「北極高度」は地点緯度であり、それぞれ、影距北極、北極距天頂の余角である。
赤経高弧交角は、地球影南中前は正（反時計回り）、南中後は負（時計回り）のはずであり、出時赤経高弧交角を正、入時赤経高弧交角を負となるようにしておく。
黄道赤経交角と赤経高弧交角とを加算して、黄道高弧交角を得る。暦法新書の式では、例によっていろいろ場合分けして書いてあるが、当ブログの式では「反時計回りが正」で統一しているので、単純加算して算出できる。
帯食両心相距交実緯角
求帯食両心相距交実緯角「以帯食両心相距為一率、食甚実緯為二率、半径為三率、求得四率為交角之余弦、検表得帯食両心相距交実緯角（如無食甚実緯、則無帯食両心相距交実緯角。即以斜距黄道交角為帯食両心相距与黄道交角）」
帯食両心相距を以って一率と為し、食甚実緯、二率と為し、半径、三率と為し、求めて得る四率、交角の余弦と為し、表を検じ帯食両心相距交実緯角を得（もし食甚実緯無ければ、則ち帯食両心相距交実緯角無し。即ち斜距黄道交角を以って帯食両心相距と黄道交角と為す）。
求帯食両心相距与黄道交角「以初虧或復円黄道交実緯角（帯食在食甚前、用初虧黄道交実緯角、在食甚後、用復円黄道交実緯角）、与帯食両心相距交実緯角相減、得帯食両心相距与黄道交角。帯食両心相距交実緯角小於黄道交実緯角、則帯食距緯之南北、与食甚同。大於黄道交実緯角、則食甚為緯北者、帯食為緯南、食甚為緯南者、帯食為緯北。若両角相等、則両心相距与黄道合無交角」
初虧、或いは、復円黄道交実緯角を以って（帯食、食甚前に在れば、初虧黄道交実緯角を用ゐ、食甚後に在れば、復円黄道交実緯角を用う）、帯食両心相距交実緯角と相減じ、帯食両心相距と黄道交角を得。帯食両心相距交実緯角、黄道交実緯角より小さければ、則ち帯食距緯の南北、食甚と同じ。黄道交実緯角より大きければ、則ち食甚緯北と為すは、帯食緯南と為し、食甚緯南と為すは、帯食緯北と為す。もし両角相等しければ、則ち両心相距と黄道合し、交角無し。
\[ \begin{align}
\text{帯食両心相距交実緯角} &= \cos^{-1} \dfrac{\text{食甚実緯}}{\text{帯食両心相距}} \\
\text{帯食両心相距と黄道交角} &= \text{黄道交実緯角} + \text{帯食両心相距交実緯角} \times \text{符号}(\text{出入時刻} - \text{食甚時刻})
\end{align} \]
初虧・復円のとき、初虧・復円の月と地球影との距離を意味する「併径」という語を、初虧・復円の月と地球影とを結ぶ線分を意味する語として使用していたように、帯食時の月と地球影との距離を意味する「帯食両心相距」という語を、帯食時の月と地球影とを結ぶ線分を意味する語として使用している。
さきほど、「一般に、該当時刻における月中心と地球影中心の距離を \(d\)
とするとき、
\(\cos(\text{交実緯角}) = \dfrac{\text{食甚実緯}}{d} \)
として計算できる」と述べた。帯食時の月中心と地球影中心との距離は「帯食両心相距」であるため、上記のように算出できる。
暦法新書の計算では、黄道交実緯角は、初虧（食甚より前の時刻）のとき黄道前方から測った角とし、 復円（食甚より後の時刻）のとき黄道後方から測った角とし、併径交実緯角を減算して、併径交黄道交角を求めていた。当ブログの式では、黄道交実緯角は、常に黄道前方から反時計回りに測った角とし、それに併径交実緯角を、初虧では減算し、復円では加算して、併径交黄道交角を求める。
帯食時も同様に、 暦法新書の計算では、黄道交実緯角は、食甚より前の出入時刻のとき黄道前方から測った角（初虧黄道交実緯角）を用い、 食甚より後の出入時刻のとき黄道後方から測った角（復円黄道交実緯角）を用い、併径交実緯角を減算して、併径交黄道交角を求めている。当ブログの式では、黄道交実緯角は、常に黄道前方から反時計回りに測った角とし、それに帯食両心相距交実緯角を、食甚より前の出入時刻では減算し、食甚より後の出入時刻では加算して、帯食両心相距黄道交角を求める。
「食甚より前の出入時刻では減算、食甚より後の出入時刻では加算」となるように、\(\text{符号}(\text{出入時刻}
- \text{食甚時刻})\) を帯食両心相距交実緯角にかけておいたが、
\(\text{帯食両心相距交実緯角}
= \sqrt{(\text{食甚実緯})^2 + (\text{帯食距弧})^2}\)
であり、当ブログの式では、帯食距弧は、食甚より前の出入時刻では負、食甚より後の出入時刻では正であるので、
\[
\begin{align}
\text{帯食両心相距交実緯角} &= \tan^{-1} {\text{帯食距弧} \over
\text{食甚実緯}} \\
\text{帯食両心相距と黄道交角} &= \text{黄道交実緯角} +
\text{帯食両心相距交実緯角}
\end{align} \]
と計算した方が、自然な式になるかも知れない。
帯食両心相距と高弧交角
求帯食両心相距与高弧交角「置帯食黄道高弧交角、加減帯食両心相距与黄道交角、得帯食両心相距与高弧交角。食甚前帯出地平・食甚後帯入地平者、緯南則加、緯北則減。食甚後帯出地平・食甚前帯入地平者、緯南則減、緯北則加（如無食甚実緯者、帯出地平、食甚月距正交初宮則加、六宮則減。帯入地平、食甚月距正交初宮則減、六宮則加）。如帯食両心相距与黄道無交角、則帯食黄道高弧交角、即帯食両心相距与高弧交角（黄平象限在天頂北者加減相反）」
帯食黄道高弧交角を置き、帯食両心相距と黄道交角を加減し、帯食両心相距と高弧交角を得。食甚前の帯出地平・食甚後の帯入地平は、緯南則ち加へ、緯北則ち減ず。食甚後の帯出地平・食甚前の帯入地平は、緯南則ち減じ、緯北則ち加ふ（もし食甚実緯無ければ、帯出地平、食甚月距正交、初宮則ち加へ、六宮則ち減ず。帯入地平、食甚月距正交、初宮則ち減じ、六宮則ち加ふ）。もし帯食両心相距と黄道交角無ければ、則ち帯食黄道高弧交角、即ち帯食両心相距と高弧交角（黄平象限、天頂の北に在れば加減相反す）
求帯食方位「食甚前、与初虧同。食甚後、与復円同（黄平象限在天頂北者、左右相反）」
食甚前は初虧と同じ。食甚後は復円と同じ（黄平象限、天頂の北に在れば、左右相反す）。
\[ \text{帯食両心相距と高弧交角}= \text{帯食黄道高弧交角} + \text{帯食両心相距と黄道交角} \]
暦法新書の式では、例によっていろいろと場合分けがあるが、当ブログの式では、単純に加算して得られた帯食両心相距高弧交角を、上（天頂方向）から反時計回りの角として扱えばよい。
以上で、方向角の算出についての説明を終える。
次回は、寛政暦の月食法の最終章。寛政暦の暦法書である「暦法新書(寛政)」には記載がないものの、後に編纂された寛政暦の暦理解説である「寛政暦書」に算出法が記載されている「食分密法」について説明する。
[参考文献]
吉田 秀升, 山路 徳風, 高橋 至時, (校正) 土御門 泰栄「暦法新書」（寛政） 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
渋川 景佑「寛政暦書」 国立公文書館デジタルアーカイブ蔵
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